贝叶斯统计复习

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1、贝叶斯统计习题1.设&是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为(1)00U(0,1)z、[2(1・&),Ov&vl(2)兀(I卄亠[o,其它求&的后验分布。解：_J1,0<0<11.3(1)兀(X)=(0其它x：检验8个产甜仃3个不合格1i(8m(x)二Jp{x)7i(0)dO-J011(1-e)5d6二J56&"1-。)5刖0兀(&

2、x)=M'F川°)=504^(1_纣0<0<1777(X)0<0<1其它m(x)=J；p{x

3、&)龙(&)〃&二J；(1—&)'*2(1-&)de=J；112

4、/(1—dO龙(0卜)=卩(刎?：⑹=840少(1Of,。0,G>0,证明：&的后验分布仍为Pareto分布。解：样本联合分布为：p{xd)=-^^4I0,0<0{}71(0x)ocp(xe)兀⑹=a蹲/0a+n+ioc1/&E+1，&>q=max{%,石，…，£}因此&的后验分布的核为1/0a+n+l,仍表现为Pareto分布密度函数的核即龙（0卜）=<'（0+力&罗/

5、&曲旳0,e0,（1）证明：伽玛分布Gq（q,0）是参数2的共觇先验分布。（2）若从先验信息得知，先验均值为0.0002,先验标准差为0.0001，确定其超参数0,0。解：⑴样本的似然函数：p（xA）=Ane-=22皿参数Q的后验分布龙（用对8卩（兀

6、/1）龙（2）oc才"""曲几服从伽马分布Ga（Q+/?,0+/lx）.（7—=0.0002（2）」0n0=4,0=20000.ry—=0.000124•设一批产品的不合格品率为0

7、,检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X为发现第一个不合格品是己经检查的产品数，则X服从几何分布，其分布列为p（x=x&）=&（17尸,兀=1,2,…假如&只能以相同的概率取三个值1/4,2/4,3/4,现只获得一个观察值x=3,求0的最大后验估计o解：&的先验分布为P砂=才）=*,£=1,2,3在&给定的条件下，X=3的条件概率为尸（比=3出）=%1—"尸联合概率为Hx=3^=4）=iX=3的无条件概率为p（X=3〉=勺•*（寻严+舟V）舛乎（+刃=島L444444」48&的后验分布为0F（心〃4iX=3）

8、1/42/43/49/208/203/200的最大后验佔计0⑷=1/4。5。设x是來自如下指数分布的一个观察值，p(x3)=e'(x(fx>&収柯西分布作为&的先验分布，即7r(3)=—~-V,-°°<&<°°7兀(1+&2)求&的最大后验估计解后验密度为了寻找0的最大后验估计我们对后验密度使用微分法，可得务(也〉=走殳[名_石㈱」_广7(4])2观(无)(1+&2)坯—由干打(0匕)的非减性•考虑到&的取值不能超过工，故0的最大后验估计应为血=工°6.设兀二（坷旳,…也）是来自均匀分布t/（0,&）的一个样本，又设&服从Par

9、eto分布，密度函数为兀(&)=求&的后验均值和后验方差。解：&的先验分布为：龙“&[o,e

10、出22&1-（―）2JI./心/£2&兀>0r（2}（1）&的后验分布为：_（〃+&+]）X+2』兀（&卜）*p（x3）7r（0）oc&2e29flY即为倒伽玛分布心（才+%专+0）的核。yjx所以&的后验分布为IGa（-+%丄+0）22兰+09/?(2)后验均值为£(&")==——^―'—+2—2(寺+0)2后验方差为Var{Ox)=―——(彳+°-1)"彳+°一2)8.对正态分布NGV)作观察，获得三个观察值：2,3,5,若0的先验分布为2(3,1),求&的0.95可信区间。9.设某电子元件的失效吋间X服从指数分布，其密度函数

11、为p(x

12、3)=B'exp{・x/&},x>&若未知参数8的先验分布为倒伽玛分布/Gq(1,0.01)。计算该种元件在时间200之前失效的边缘密度。解：龙(&)=0.01矿2，&>0则加(x)=Jp(兀

13、0)兀(0)〃0