初中数学思想方法大全之发散思维.docx

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1、文胖数学思想方法初中数学思想方法大全之发散思维过节时，天空五彩缤纷的礼花，令人眼花缭乱，纷繁迷离。这种烟花发散的镜头，在我们学习数学的时候，也是可以借鉴的。对于数学习题，要善于多方思考，探究它的不同解法，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，向“少、精、活”探索。这样，学会一例，就可以驾驭一类，既能提高运算速度，又能有目的地把各类知识串联起来，达到温故而知新的目的。一、代数式运算中的发散思维【例1】分解因式：【思路分析】根据题目特征：系数和为0，即3－4＋1＝0，显然有三种关系式：3=4－1，－4=－3－

2、1，1=4－3。据此可采用如下解法：解法1、将拆分为与：解法2、把－4y拆分成－3y与－y：解法3、把1拆分成4与－3：点评：对于系数和为0的高次多项式分解因式来说，运用以上例的发散思维对系数进行拆分，就显得尤其简便了。【例2】已知mn=1，求的值。【思路分析1】化异为同——通分：【思路分析2】妙用的代换：其实，只代换其中一个“1”效果更明显：【思路分析3】m、n互为倒数：【思路分析4】把原式提取因式m：二、方程中的发散思维【例3】已知方程，求作一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的2倍。【思路分析1

3、】求出已知方程的两根：，则所求方程两根为：，和为－6，积为－8，则所求方程为：。【思路分析2】运用韦达定理（根与系数的关系定理）：设已知方程两根为，则，则所求方程为：。【分析思路3】设所求的方程根为y，原方程根为x，则必有：，即：，代入原方程得：，化简即得所求方程：点评：解法三不仅简捷，而且巧妙。这种解法采用根的变换求方程，我们不妙称这种方程为“变根代换法”，其一般步骤为：第一步：设y为新方程的根，列出y与原方程根的对应关系；第二步：用含y的代数式表示x，代入原方程；第三步：化简、整理即得所求一元二次方程。三、

4、几何中的发散思维【例4】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，另两个顶点分别在AB、AC边上。这个零件的边长是多少？【思路分析1】当四边形PQMN为所求正方形零件时，AE⊥PN，于是由相似三角形对应高之比等于相似比可得：，令正方形边长PQ=x，代入方程可得：解之：x=48.【思路分析2】与高、垂线相关的问题，面积法当仁不让！面积法1：即：解之：x=48.面积法2：（解略）【思路分析3】相似三角形面积比等于相似比的平方。点评：本例利

5、用相似三角形性质，结合代数运算，一举成功，然而，采取面积法，更是别有洞天，使眼界更开阔，思路更活跃，增强应变的能力，培养了发散思维，最重要的是——让我们解决任何问题都有了更多的想法与思路。【实战演练】1、解方程组：（）2、P是等腰△ABC底边BC上一点，PE、PF分别是点P到两腰的距离，CD⊥AB于D。求证：PE+PF=CD（全等法、面积法）3、上题中，如果△ABC为等边三角形，P是形内任一点，则P到三边距离之和与高AD的关系又是如何的呢？4、已知二次函数图像过点（1，24），当x=时有最大值，函数图像与x轴相

6、交于点（，0）与（，0），设>，且，求该函数的解析式。5、两圆相交于点A、B，过B点的任意一直线与两圆分别相交于点C、D，求证：AC与AD之比等于两圆的直径之比。