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1、变化率及导数1导数的计算2导数在研究函数中的应用3生活中优化问题举例4定积分的概念5第一章导数及其应用§1.1变化率及导数问题1气球膨胀率很多人都吹过气球，回忆一下在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢？？？？想一想如何描述呢?若将半径r表示为体积V的函数,那么：当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了：我们知道，气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系是：气球的平均膨胀率为：可以看出：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小当空气容量V从1L增加到2L,
2、气球半径增加了：气球的平均膨胀率为：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?思考？问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探究1.1.1平均变化率定义：式子称为函数从到的平均变化率.令则平均变化率可表示为：注：并不是表
3、示与的乘积也是一样理解1，式子中、的值可正、可负，但的值不能为,的值可以为2，若函数为常函数时，3,变式为什么不能为零?如果无限接近零表示什么?探索？？观察的图像平均变化率表示什么？OABxyx1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率若无限接近，此时平均变化率又表示什么又表示什么？1、已知函数的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点,则=（）A3BCD2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。做两个题吧！求平均变化率一般步骤求函数的增量计算平均变化率1.1.2导数的概念在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运
4、动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?平均变化率的几何意义平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.那么如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度平均变化率的几何意义时，在这段时间内时,在这段时间内当△t=–0.01时，当△t=0.01时，当△t=–0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………当△t=0.001时,观察从物理的
5、角度看,时间间隔
6、△t
7、无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.为了表述方便我们用表示当t=2,注：确定值-13.1，我们称是探究1、运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？2、导数的定义一般地，函数y=f(x)在时瞬时变化率是：我们称它为函数即：注解：关于导数的几点说明：由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:求函数的改变量2.求平均变化率3.求值一差、二化、三极限例题将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第h时,原油的温度（单位：）为(0≤x≤8
8、).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解：在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以，同理可得在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.GETTINGHIGHERGAP练习:计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率,并说明它们的意义.如果质点A按规律则在t=3s时的瞬时速度为A.6B.18C.54D.81课堂练习1.1.3导数的几何意义观察分析：割线斜率和此切线的斜率有什么关系呢？想一想，算一算！
9、导数的几何意义：函数在某一点的导数，就是该点的切线斜率。练习：求：结论我得好好想想§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数其中c为常数所以，它在时刻时的速度为某物体作变速直线运动，函数，则可以解释为若表示路程关于时间的这个函数又如何描述呢？1.2.2基本初等函数导数公式及四则运算法则我要想法记住这些！导数的运算法则1、2、3、例题导数运算法则推广函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)．例题[分析]这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用函数加减的求导法则进行求导．例题1.2.3复合函数求导1、
10、引例(1)求的导数解1解2因为所以解1是错误的。因为是基本初等函数，而是复合函数。思考：(2)
