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1、华东师大版:初中数学八年级下册—第十九章全等三角形课题：角平分线的判定定理1．说出定理“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题，并证明该逆命题为真命题．2．如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．课本P91练习题作业更正与反思3．三角形三边长a、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？（１）a=8,b=15,c=17；（２）a=6,b=10,c=8；（3）a=1,b=3,c=2.4．给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条
2、边为多长时，这个三角形是直角三角形？创设情境揭示问题在一个三角形居住区内修有一个水厂P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出水厂P的位置,P在何处？ABC1、∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴BD=CD判断：下列说法是否正确（×）2、∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴BD=CD（×）3、∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DE⊥AB（已知）（√）∴BD=CD温故知新角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.回忆我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的这条性质是怎
3、样得到的呢？如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段PD和PE完全重合．于是得到PD＝PE．与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法加以证明.图中有两个直角三角形△PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．探索研究，学习新知定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB垂足分别是D、E求证:P
4、D＝PEPOABDEC证明：在ΔPOD和ΔPOE中∠DOP=∠EOP∠PDO=∠PEOOP=OP∴ΔPOD≌ΔPOE∴PD=PE此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.角平分线性质定理：问题：你能说出以下定理的逆命题吗？已知：如图QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明：作射线OQ，∵Q
5、D⊥OA，QE⊥OB∴△DOQ和△EOQ是Rt△，在Rt△DOQ和Rt△EOQ中，∵QD＝QE．QO＝QO∴Rt△DOQ≌Rt△EOQ，∴∠AOQ＝∠BOQ．∴点Q在∠AOB的平分线上定理2、到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上QOABDEC拓展：我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点．上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们可以用集合叙述：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合提示：从图中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．请你
6、口述完成证明．例题1、△ABC中，∠B＝∠C，D是BC中点，DE⊥AB,DF⊥AC，求证：DF=DEABCDEF点例透视运用新知证明:∵∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形.又∵D是BC中点，∴∠BAD＝∠ADC，∵DE⊥AB,DF⊥AC，∴DF=DEABCMNIDEF例题2、I是△ABC外角∠MBC，∠NCB的的平分线的交点求证：I在∠A的平分线上证明:如图，过I分别作AM、AN、BC的垂线，垂足分别是D、F、E。∵I是△ABC外角∠MBC的平分线的点，又∵ID⊥BM，IE⊥BC，∴ID=IE，同理，IF=IE，因此，ID
7、=IF又∵ID⊥AM，IF⊥AN，所以，I在∠A的平分线上一填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(_______________________________________)(2).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(__________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。角平分线上的点到角的两边的距离相等练习反馈，拓展思维图1图2B1：下列两图中，能表示
8、直线l1上一点P到直线l2的距离的是（）二选择题：图12：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（）图1图2图1三.证明：如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点。 求证：∠BDP=∠CDP证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴ΔABPΔACP是直角三角形,在Rt△
