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1、2.2圆内接四边形的性质与判定定理1圆心角的度数等于它所对的弧的度数。同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90º的圆周角所对的弦是直径.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理圆心角定理推论1推论2【温故知新】2如果多边形所有顶点都在一个圆上.那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.ABCDOABCDADBCDABC思考:任意三角形都有外接圆.那么任意正方形有外接圆吗?为什么?任意矩形有外接圆吗?为什么?等腰梯形呢?为什么?一般地,任意四边
2、形都有外接圆吗?为什么?需要具备什么样的条件呢？1.【圆内接四边形的性质】3直接研究较困难，那么我们可以先从问题的反面思考：如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有什么特征？我们应该从哪些角度来思考呢？ABCDOABCDADBCDABC观察下面这组图中的四边形都内接于圆.你能从中发现这些四边形的共同特征吗？1.【圆内接四边形的性质】4DABC如图（1）连接OA,OC.则∠B=,∠D=性质定理1圆内接四边形的对角互补.将线段AB延长到点E,得到图（2）（1）DABCE（2）性质定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.1.【圆内接四边形的性质
3、】56性质定理1的逆命题：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.性质定理1的逆命题：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.性质定理1圆内接四边形的对角互补性质定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.上述定理的逆定理是什么？它们成立吗？应该怎样来证明呢？思考31.【圆内接四边形的性质】7假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.分析：不共线的三点确定一个圆，经过A、B、C三点可以做一个圆O,如果能由条件得出圆O过D就证明了.（1）显然，点D与圆有且只
4、有三种位置关系：（1）点D在圆外；（2）点D在圆内；（3）点D在圆上；CABDO2.【圆内接四边形的判断定理】8假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.CABDO证明：(1)如果点D在⊙O外部.（1）∠AEC+∠B=180°得∠AEC=∠D这与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾.故点D不可能在圆外.E因∠D+∠B=180°设E是AD与圆周的交点，连接EC,则有点D在内部怎么证明？2.【圆内接四边形的判断定理】9假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°求证：A,B,C,D在同一圆周上（
5、简称四点共圆）.ABCDO（2）(2)如果点D在⊙O内部.∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆.E∴点D不可能在⊙O内.延长AD交圆于点E,连接CE,则∠B+∠E=180°这同样与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾.2.【圆内接四边形的判断定理】10圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.DA
6、BCE2.【圆内接四边形的判断定理】11[悟一法]判定四点共圆的方法常有：(1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．12思维拓展圆内接平行四边形一定是_____形圆内接梯形一定是__________形圆形内接菱形一定是________形矩形等腰梯形正方形13例3如图，CF是△ABC的AB边上的高，
7、FP⊥BC,FQ⊥AC.求证：A,B,P,Q四点共圆AFBPQC证明：连接PQ。在四边形QFPC中，∵FP⊥BCFQ⊥AC.∴∠FQA=∠FPC=90º.∴Q,F,P,C四点共圆。∴∠QFC=∠QPC.又∵CF⊥AB∴∠QFC与∠QFA互余.而∠A与∠QFA也互余.∴∠A=∠QFC.∴∠A=∠QPC.∴A,B,P,Q四点共圆14习题2.21.AD,BE是△ABC的两条高，求证：∠CED=∠ABC.2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。CABED3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分∠E,且与
8、BC,AD分别相交于F,G.求证：∠CFG=∠DGF.ABEFGDC15性质定理1圆内接四边形的对角互补.性质定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的对
