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1、lj䘁世代数NJ复Ґ资料参考答案一ǃ判断题1凡√2凡√3凡√4凡√5凡×6凡√7凡×8凡√9凡√10凡×11凡×12凡√13凡√14凡×15凡√二ǃ计算题1凡在S中，求(143)生成的子群H的所有元素DŽ423解˖(143=143143=134)()()()，(143=134143)()()=e，所以H={e,143,134()()}DŽ2凡在Zx[]中计算л面两个多项式的和о〟˖8332fx()=2x+7x+5,()gx=2x+5x+3x+7332解˖fx()+gx()=2x+7x++52x+5x+3x+73232=4x+5x+10
2、x+12=4x+5x+2x+4DŽ33265432fxgx()i()=(2x+7x+52)(x+5x+3x+7)=4x+10x+20x+59x+46x+64x+3565432=4x+2x+4x+3x+6x+33凡设积24>和积32>是整数环不的两个理想，求生成元ab,使得=<24>+<32,><>=∩<32>凡解˖24和32的最大公约数为8，所以a=8，24和32的最小公倍数为96，所以b=96DŽ4凡计算[(2,3):]QQ和[(2Q+3):]Q22解˖fx()=(x−2)(x−3)(x+2)(x+3)=(x−2
3、)(x−3)是ℚк的多项式，且是以2，3为根的最小多项式，由于fx()的次数是4，所以[(2,3):]QQ=4DŽgx()=(x−2−3)(x−2+3)(x+2−3)(x+2+3)=222222((x−2)−3)((x+2)−3=)(x−2)(x+2)−3(x−2)−3(x+2)+9是ℚк的多项式，且是以2+3为根的最小多项式，由于gx()的次数是4，所以[(2Q+3):]Q=4DŽ5凡在S中，求(125)生成的子群H的所有元素DŽ523解˖(125=125125=152)()()()，(125=152125)()()=e，所以H=
4、{e,125,152()()}DŽ−1−16凡在S中，求(23412)()，(134)以及(132124)()4−1−1−1−1解˖(23412)()=(1342)，(134)=1413(()())=13()(14)=1314=143()()()，−1(132124)()=(132142)()=(1423)()27凡设fx()=3x++x2,gx()=2x−4，在ℤ[x]中计算5fx()+gx()，fxgx()⋅()22解˖fx()+gx()=3x+++x22x−=43x+3x−2，2323fxgx()⋅()=(3x++x22)
5、(x−4)=6x−10x−=8x+28凡求出模8剩余类环Z8的所有非平ࠑ零元DŽ解˖24=0×，64=0×，所以Z8的所有非平ࠑ零元为2，4，6DŽ329凡设fx()=2x+3x+5x−1,gx()=3x+4，在ℤ[x]中计算˖5fx()−gx()，fxgx()⋅()并写出它们的次数凡3232解˖fx()−gx()=(2x+3x+5x−1)−(3x+4)=2x+3x+2x−532=2x+3x+2xDŽ32432fxgx()()=(2x+3x+5x−13)(x+4)=6x+17x+27x+17x−4432=x+2x+2x+2x+110
6、凡求出(ℤ6,+)的所有生成元DŽ解˖ℤ中6互质的数都可作为生成元DŽ故生成元有1，5DŽ611凡已知N=<45>和N=<36>是整数环不的两个理想，求N+N，N∩NDŽ121212解˖45和36的最大公约数为9，所以N+N=9，45和36的最小公倍数为180，所12以N∩N=180DŽ1233312凡计算[(2):]QQ并求1+2+4的逆DŽ2323333解˖fx()=(x−2)(x+2x+(2))=x−2是ℚк的多项式，且是以2为根的3最小多项式，由于fx()的次数是3，所以[(2):]3QQ=DŽ333333(1+2+4)(21=1−
7、)，所以1+2+4的逆是21−DŽйǃ证明题13凡设G={(,)
8、,abab∈Ra,≠0},规定G中元素䘀算˖(,)(,)abcd=(acad,+b)证明˖G是一个群，但н是交换群DŽ证˖(,)(,)abcd，，(ef,)∈G，则((,)(,)abcd)(ef,)=(acad,+bef),()=(aceacf,+ad+b)，(,)(,),ab(cdef())=(,)(,abcecf+d)=(aceacf,+ad+b)，所以关于乘法满足结合律DŽ对任意(ab,)∈G，(ab,)(1,0)=(ab,)=(1,0)(ab,)，所以(1,0
9、)是单位元DŽ1b1b1b任取(ab,)∈G，则,−∈G，并且(ab,),−=10=(，),−(ab,)，所以aaaaaa1b−1,−=(ab,)DŽ所以G是群DŽaa(,)(,)abcd，∈G，(,)(,)abcd=(acad,+b
