利用换元法证明不等式.doc

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1、利用换元法证明不等式廖东明合理换元往往能简化题设的信息、凸显隐含条件、沟通量与量之间的联系，对发现解题思路、优化解题过程具有重要作用．换元法在不等式证明中也具有独特的作用．一、三角换元在一些代数不等式证明中，选用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题，充分利用三角函数的性质可以使问题化难为易．例１．已知，求证：．分析：条件表示的图形是一个圆环，可采用三角换元，分离出参变量和，进而利用同向不等式的乘积法则使问题获解．证明：令，，，则，．∵，∴．又，∴，即．点评：三角换元法依据的公式有，，等，要求解题者善

2、于类比和联想，并且根据具体问题灵活处理．如对条件可作三角换元，，．二、代数换元对于那些具有一定结构特色的代数式，根据题目的特点，巧设某些代数式作换元，往往能收到化繁为简化难为易的功效．１．局部式子换元例２．已知，且．求证：．分析：注意到，作换元（），便可凸显关系，简化书写，使问题快捷得解．证明：令，由可知，∴，即．点评：解题过程中要善于联想和变用，如由（）可以得到恒等式（也满足）．这样，可以开启思路，简化过程．２．均值增量换元例３．已知，求证：．分析：由于在条件等式和待证不等式中都具有轮换对称性，易知不等式在时

3、取得等号，在中的平均值就是，故采用均值增量代换法证题．证明：根据，设，，，其中，则．点评：本例的均值增量代换，首先进行一系列的等式转化，最后利用非负数的性质由相等实现向不等转化，解答自然流畅，且降低了寻找解题突破口的难度．３．简化分母换元例４．设是三角形三边的长，求证：．分析：审视待证不等式，字母具有轮换对称性，易知在时取得等号，通过对分母换元简化分母，变成容易利用平均值不等式的形式来使问题获解．证明：令，，，则均为正数，且，，，于是，当且仅当、、即时取得等号．故原不等式成立．点评：通过对分母换元，简化分母，“

4、复杂”分子，为利用平均值不等式创造有利条件，使问题化难为易．例５．若，，求证：．分析：审视待证不等式，字母具有轮换对称性，令解得，即在时取得等号，通过对分母换元简化分母，巧妙利用平均值不等式进行证明．证明：∵，，∴设，，、，则原不等式等价于．而，即．当且仅当及及，即亦即时取得等号．故．点评：本例两次应用平均值不等式，在第二次使用时还使用了叠和（即同向不等式相加）的技巧．因此，关注等号成立必须关注三种情形下等号成立的条件要相同或一致．