高二数学立体几何的概念、公理、定理.doc

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1、立体几何的概念、公理、定理王春老师编辑2007-12-20一．写出以下公理、定理，并根据图形写出它们的条件与结论。（一）立体几何三公理A∈，B∈A∈，B∈公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。A、B、C不在同一直线上有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈αA∈推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。Aa有且只有一个平面，使推论2：经过两条相交直线，有

2、且只有一个平面。a∩b＝A有且只有一个平面，使推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。a∥b＝A有且只有一个平面，使cbacba（二）空间直线公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。a∥bb∥c等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。Zishi2007-12-20推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。αAaP与a异面A∈P异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。（三）直线和平面直线和平面平行的判

3、定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。定理：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。l⊥βα∥βl⊥α定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。射影定理：

4、从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。Zishi2007-12-20三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。定理：逆定理：（四）平面与平面两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。a/b/O

5、O推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面平行。定理推论定理：垂直于同一直线的两个平面平行。定理：平行于同一平面的两个平面平行。两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。定理：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。Zishi2007-12

6、-20二、概念与性质（一）空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线。 （二）直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行1、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。2、直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面叫做直线a的垂面。（三）两个平面的位置关系：平行、相交1、两个平面互相平行的定义

7、：空间两平面没有公共点。2、两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 （四）角1．两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行（或重合）于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）。范围为 ( 0°，90°]  2、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。（1）规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角。 直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]（2）最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的

8、最小角。（3）若斜线与平面所成的角为α，其在此平面内的射影与平面内的一条直线所成的为β，斜线与这条直线所成的角为γ则cosγ＝cosα·cosβ3、二面角：从一条直线出发的两个半