2、)b能由α1,α2,α3线性表示?解02-113134k500k-2-401-13102-1(A)~A(2)b不能由α1,α2,α3线性表示?，b不能由α1，α2，α3线性表示。（2）当k=2时，，b能由α1，α2，α3线性表示。（1）当k2时，4一相关性的定义第11讲向量组的线性相关性相关性的判别｛定理判别几个特殊定理三一个结论定义判别5一、相关性的定义向量组A：a1,a2,…,am线性相关：P87定义4k1a1+k2a2+…+kmam=O如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得否则称它是线性无关的．注：向量组a1，a2，，am线性
3、相关存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=O向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示6注：向量组a1，a2，，am线性相关向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示P87证明设向量组a1，a2，，am线性相关则存在k1，k2，，km不全为0使得k1a1k2a2kmamo不妨假设则k1a1=-k2a2--kmama1=-a2--am7注：向量组a1，a2，，am线性相关向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示P87证明向量组有一个向量(不妨假设为am)能由其
4、余向量线性表示则存在k1，，km-1，使得因此:向量组a1，a2，，am线性相关8一、相关性的定义等式成立当且仅当k1=k2=…=km=0向量组A：a1,a2,…,am线性相关：P87定义4k1a1+k2a2+…+kmam=O如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得否则称它是线性无关的．例：向量组A:线性相关=O例：向量组B:线性无关9一、相关性的定义注:1.对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关.3.向量组含有两个向量时：相关对应分量成比例P87等式成立当且仅当k1=k2=…=km=0向量组A：a1,a2,…,am线性相关：
5、P87定义4k1a1+k2a2+…+kmam=O如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得否则称它是线性无关的．2、向量组只包含一个向量时，例:向量组A:10注：4、向量组a1，a2，，am线性相关向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示4‘向量组a1，a2，，am线性无关向量组中任一个向量不能由其余向量线性表示P87111、定义2、定理——判定定理3、几种特殊的判定定理k1a1+k2a2+…+kmam=O二、相关性的判定向量组A：a1,a2,…,am12例设线性无关证明也是线性无关的。a1，a2，a31、定义判别证明：设有一组
6、实数使得则因为线性无关a1，a2，a3故线性无关。P89例613例2设证明线性相关证明：设有一组实数使得取故：向量组b1，b2，b3线性相关可以不全为零14例判断向量组A是否线性相关解：设有一组实数使得问题转化为齐次方程组是否有非零解？A=（a1,a2,a3）是由向量组构造的矩阵15定理1向量组构成的矩阵的秩<向量个数向量组A:线性相关a1，a2，，amR(A)7、2、定理判定向量组A:线性无关17解2-13-11-15111124~0-5-50330-9-9124~011000000124例1判断向量组是否线性相关向量组a1，a2，a3线性相关向量组对应的矩阵为向量个数3R(A)<(=)向量个数18例3试讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性．解：可见R(a1,a2,a3)=2，故向量组a1,a2,a3线性相关；同时，R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关．19例4已知向量组线性相关,求k值解:线性相关k2222k2k2A为方阵203、几种特殊的判定定理（1）向量组含有零向量相关
8、（2)向量组里有两个向量成比例相关（3）部分相关整体相关（4）整体无关部分无关（5）向量的维数<向量的个数相关n+1个n维
