高级微观经济学课件_最优化.ppt

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1、A2微积分与最优化A2.1微积分设D是一个非退化的实值区间—在此区间上,f是二次可微的.如下的1至3阐述是等价的:1.f是凹的.2.f(x)≤0,xD.3.对于一切x0D,f(x)≤f(x0)+f(x0)(x-x0)4.如果f(x)<0,xD,那么,f是严格凹的.0yx0xxl0l1图A2.3曲率与二阶导数定理A2.1凹性与一阶和二阶导数2021/9/203A2.1.2多变量函数的偏导数可以定义为：nnniiinxftgtRttzxftgxffxzzzzhxxfxhxxfxxfxfxxfy1111)()(0.)()()(),...(),...(),..,...,(lim

2、)(),,...(iniizxfg1)()0(=å=¢==Î+==-+=¶¶=右边项便是f在x点处沿z方向上的方向导数。g´(0)=f(x)z时，，这里定义设函数为：开始发生怎样的变化。由的值将会，的方向偏离点设关于令偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率我们还必须要研究沿某一方向的导数,这就是方向导数2021/9/204证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到2021/9/205故有方向导数2021/9/206梯度的概念2021/9/207zf¶¶有最大值.2021/9/208结论2021/9/209梯度与等高线的关系：2021/9/2010定理A2.2杨格定理梯度取梯度=海

3、赛矩阵例题A2.2考虑函数f(x1,x2)=x1x22+x1x2,验证杨格定理对于二次连续可微函数f(x)2021/9/2011定理A2.3单变量与多变量的凹性设f是一个定义在Rn的凸子集上的实值函数,那么,当且仅当对于每个xD与每个非零的zRn,函数g(t)=f(x+tz)在tRx+tzD上是(严格)凹的.那么,f是(严格)凹的.证明1:设f是一个凹函数.令xD且zRn,我们要证明g(t)=f(x+tz)在C=tRx+tzD上是凹的.即要证明:g(αt0+(1-α)t1)≥αg(t0)+(1-α)g(t1)(P.1)2021/9/2012C是一个凸集,使得

4、g(αt0+(1-α)t1)Cg(αt0+(1-α)t1)=f(x+(αt0+(1-α)t1)z)=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z))≥αf(x+t0z)+(1-α)f(x+t1z)(f是凹的)=αg(t0)+(1-α)g(t1)=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z))2021/9/2013证明2:g是凹的,证明f是凹的y0=x+t0zy1=x+t1zf(αy0+(1-α)y1)=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z))=f(x+(αt0+(1-α)t1)z)=g(αt0+(1-α)t1)≥αg(t0)+(1-α)g(t1)(g是凹的)=αf(x+t0

5、z)+(1-α)f(x+t1z)=αf(y0)+(1-α)f(y1)(f是凹的)2021/9/2014定理A2.4关于多变量函数的斜率,曲率与凹性设D是Rn一个凸子集,在此集的一个非空的内部,f是二次连续可微的.如下三个命题是等价的:1.f是凹的.2.对于D中的所有x,H(X)是负正定的.3.对于一切x0D,f(x)≤f(x0)+f(x0)(x-x0),xD.此外,4.如果对于D中所有x,H(x)是负定的,那么,f是严格凹的.2021/9/2015由于f是二次连续可微的,它足以在D内建立定理.连续性将关注边界点.因此,xintD与zRn.设C={tRx+tzR},并设

6、对于所有tC,g(t)=f(x+tz).注意g承袭f的二次连续可微性.定理A2.4证明现在,设1成立,f是凹的.g在C是也是凹的g(t)≤0,tC(P.1)根据A2.1根据A2.3g(t)≤g(t0)+g(t0)(t-t0)t0,tC(P.2)根据P.1g(t)=f(x+tz)z(P.3)为充分利用这些结论,我们计算g和f的一阶和二阶导数根据P.1为充分利用这些结论,我们计算g和f的一阶和二阶导数2021/9/2016iniiztzxftzxfgå=+=+Ñ=¢1)()(为计算g(t),最简单的方法是将g(t)写成对右边的式子微分,fi(x+tz)关于t

7、的导数正好是fi在x+tz点沿z方向导数—它可以写成此式可以改写为注意0C，依据（P.1）g(0)≤0。由于（P.4），这意味着这意味着H(x)是负半定的,122021/9/2017定理A2.5凹性,凸性与关于变量本身的二阶便偏导数设f:DR是一个二次可微函数.1.如果f是凹的,那么,x,fii(x)≤0,i=1,…,n.2.如果f是凸的,那么,x,fii(x)≥0,i=1,…,n.2021/9/2018A2.1.3、齐次函数例子A