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1、第卷第!期德州师专学报∗#∃&#’’’∀%∋()!+#∃,−.#/0&12#∃3&.&2&,45#&6&∋778二重积分的几种换元法∗一又∗王俊青七巨德州教育学院提要9换元法是计,。算定积分的重要方法它也是计算重积分的重要方法由于二重积分的积分区域是平面上的区域,它比定积分的积分区间复杂的多,因此二重积分的换元法不仅要简化,。被积函数而更重要的是简化积分区域这里介绍几种常用的二重积分的换元法。换元法的法则9:,#:,::∃,=,∃,=∃,=‘设/;在;平面上的有界区域0上连续<;<;任0二.:一∃;一∃.:一;一.=∃,=,
2、关‘,在0上有对的连续偏导数式把0一对一的变为0且+>一。.:=,分?∀,,,,≅+且/:;Α:Α;一井/〔:∃=;∃=〕Β+ΒΑ∃Α;00,一、极坐标变换“;Δ”,在二重积分的被积函数或积分区域的边界曲线方程中含有/Χ常用极坐标变换。&:,。:Δ;Δ.Δ。例求二重积分ΑΑ其中为圆Χ一所围成的区域0且一“:“;Δ”,解因为被积函数与积分区域0的边界曲线的方程都含有Χ所以取极坐标变换Β99二Β∗Η∗ΗΗ∗、!、‘ΚΛ一ϑ∀+<,Ε#Φ甲,.Ε#Φ甲一,Φ,−甲Μ+钾ΒΒΗΗΗΗΒ,一ΒΒΓΒΒ一,Φ−甲Ι4‘−甲,Ε(4甲ΓΒ
3、型琴ΒΒ.,,Β明德州师专学报第∋(卷Μ0变为口一一,“成,提’将Ι工Ι∋(簇甲簇!友+·&Γ,Δ,,因此ΑΑ;>Α,皿一+0,0一。”Α&,Α,二&一一,一一Ι贰,,−Χ关于极坐标变换它是依据恒等式ΝΟ伸姗坤一∋的思想依这种思想还可以得到下列一些广义极坐标变换。∋、。,,若被积函数或积分区域的边界曲线的方程含有Χ时则可作广义极坐标变子杀.’一Π,Ι9二嚣∋、。例求Α:Α,其中0为椭圆十一∋所围成的区域+涯拜纂纂9’解作变换Μ二.,Ε#Φ甲‘ΘΑ曰.刃,才一Π,ΦΟ华又;衅山,+矛∗‘ΣΡ乏Ρ尧,Μ将0变为0一一,阶+针+(喊.芝注,5‘匀
4、工ΙΤ镇甲镇!沈Υ·故‘Α,>叮涯拜了一,名刁以。,0,.ΠΛ∋,,Α。二ςΑ∋一二一万+#叼万!‘气犷代.匕Α!.,,Ε。、求由曲线十一ΠΩ。所围成区域的面积例!共兴琴一一.ΣΣ解第!期二重积分的几种换元法Μ9:作变换一.,&#Φ甲.,才+ΓΠ?<Π,ΦΟ−甲;人≅&ΚΑ,(、、告Λ,,将0变为0,甲0川刀邝日一,(Ξ簇兀簇,毛⋯晋一誓:.,9,Α;一!ΠΑΨΑ因此所求的面积Ν一!井0‘附「告<。。.,,Δ+Α,+ΓΠΑ9Ι晋∋9∗Η9ΗΗ」Η.1Π,”。+“.#Φ‘−ΣΦ甲一一丁转料丽!、“”时,可Ζ若被积函数或积分区域的边界曲
5、线的方程含有了了Χ了丁作变换,&#Φ8甲例二介肠8,ΦΟ−[&#Φ[甲+<,ΦΟ−‘甲<∴刀汀日∋一,,:0丫厂..#:;求ΓΑΑ;其中是曲线万Χ了丁一Ω直线一。<了反Χ了丁。#所围成的区域Μ9‘,&#Φ8解作变换一甲,ΦΟ9。,(4[甲牙+二8卿一,ΦΟ−8ΞΘ;··0,Τ成,.“““一一Ι。镇Ψ簇要Β‘0邝Α:Α;一刀日∋‘’,Φ,−‘〕Φ一Α,Α所以井“,甲了Γ牙一ς下卿Χ丫歹。’,。。。4[Φ−[一8Α晋ΨΟ叫Ξ丁二Ι∗,,∗∗],,、,99晋9Ι.!+(Φ−一∋Φ−一少∴Φ−.“<下甲气一甲甲<下Τ+[、“Γ十”时,9若被积
6、函数或积分区域的边界曲线的方程含有别反抓歹可作变换例<,&#Φ⊥甲肠卜+<⊥,ΦΟ−Φ卿(44甲<,ΦΟ−‘甲Α·Α;求一,,且一牛声其中0是由曲线夕丁Χ澎丁一∋直线:一。;一。所围0带:十;拼成的第一象限的区域。Μ9’,&#Φ⊥甲解作变换一+,ΦΟ−Φ(44甲Β一⊥卿,ΦΟ−⊥甲?;Γ[⊥德州师专学报第∋(卷二将‘,一‘,’甲’一0变“、Ρ、Ι孰Α一终、邓、所以,∋:;一、_汀万梦一袱户万一!一。。‘,,、Α户+‘∋一、Ο−公甲艺〔∋4∋,∋叮ΙΛΝ−甲[4Τ月、“厂”,98若被积函数或积分区域的边界曲线的方程住有乡又十夕万时可作变换廿‘,Λϑ
7、;一]甲飞,Φ−‘(4‘ΓΦΟ卿甲,ΦΟ−Φ甲<Η求由曲线李及、·。·。。例解Χ粼丁一及直线犷所界区域的面积一犷似Μ9‘,&#ΦΦ作变换>甲,Φ,−丫〔。一+、Φ亡Β+二尹宁,ΦΟ−ΦΞ?;一Τ镇,镇】Μ00‘,,甲将变为一Ψ、号Λ,,Φ,−〔所。Ν一Α:Α,一ΦΨΕ。,Ψ、‘、,、、、以的面积井井00‘。,Φ了ς〕’了·一丁晋ΑΨ丁ΖΦΟ−、。4ΨΑ,一Ι∋Φ,Α,Λ一、,9Ζ、。,4、Α、。ΦΟ−ςΨ,一Φ、−ςΨ[Α、一一、晋一丁认二、为简化积分区域作变换,这时若经过一个适当有时从题目给出的积分区域无法直接确定积分限的换元就可
8、,、、以把给定的区域变为化较简单的区域例如化为矩形区域圆形区域或是它们的一部分时,这就简化了二重积分的。计算:一十;<⎯∀
