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1、机械优化设计2017年5月上海海事大学SHANGHAIMARITIMEUNIVERSITY何军良上海海事大学ShanghaiMaritimeUniversity190920092004191219587机械优化设计中的几个问题1优化设计概述2优化设计的数学基础目录CONTENTS3一维搜索方法4无约束优化方法5线性规划6约束优化方法2补课时间：周四11-13节教室：3A103第二章优化设计的数学基础矩阵运算01多元函数的方向导数与梯度多元函数的泰勒展开凸集、凸函数与凸规划020304最优化问题的极值存在条件052.1矩阵2.1.1矩阵的概念第二章优化设计的数学基础
2、设一线性方程组：如果把上面式子中的系数按原来的顺序排列起来，记作下面的形式：它就被称为矩阵，简记为:52.1矩阵2.1.1矩阵的概念第二章优化设计的数学基础由方阵A的全部元素构成的行列式，称为矩阵A的行列式，记为
3、A
4、。应用MATLAB求解A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];%生成矩阵Adet(A)%求A的行列式当方阵A的行列式
5、A
6、=0,称A为奇异方阵；当
7、A
8、≠0,则称A为非奇异方阵。62.1矩阵2.1.1矩阵的概念第二章优化设计的数学基础单位方阵：在n阶方阵中，当主对角均为1，其余各元素都为零，则称作单位矩阵，并用特定符号E表示，即：在矩阵代数中，单
9、位矩阵相当于一般代数中纯1的概念。MATLAB中，单位矩阵的命令是：eye(n)72.1矩阵2.1.2矩阵的转置第二章优化设计的数学基础若将原矩阵A的行与列对换成列与行来写，就得到A的转置矩阵，用AT表示，即：同样，行矩阵的转置为列矩阵，列矩阵的转置为行矩阵，如：应用MATLAB求解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];%生成矩阵AA'%求A转置82.1矩阵2.1.3对称方阵第二章优化设计的数学基础当方阵具有A=AT，也即各元素满足aij=aji的性质时，称A为对称方阵。其全部元素沿主对角线呈对称分布，例如：92.1矩阵2.1.4矩阵的运算第二章优化设计的
10、数学基础（1）矩阵相等两个同阶数的矩阵A与B，它们的阶数相同，并且各对应元素完全相等，即aij=bij，则该两矩阵称为相等，记作A=B。（2）矩阵的加减两个同阶数的矩阵A与B可以进行加减运算，其和或差C亦同阶矩阵。矩阵C中各元素为矩阵A、B中各对应元素之和或差。即：则必有相对于元素的对应关系矩阵加法还满足交换律和结合律，设有同阶矩阵A、B、C，则有：102.1矩阵2.1.4矩阵的运算第二章优化设计的数学基础（3）矩阵的乘法若以数乘矩阵，得同阶矩阵C,记C=A，规定C中各元素就是A中各元素乘以λ，即cij=λaij。表达如下：112.1矩阵2.1.4矩阵的运算第二章
11、优化设计的数学基础（3）矩阵的乘法若以两个矩阵A与相乘，则必须A的列数等于B的行数时才可以进行这种运算，它的乘积仍是一个矩阵C，C的行数同A，C的列数同B，C的第i行j列的元素cij等于A中第i行各元素ai1,ai2…,aip与B中第j列各元素a1j,a2j…,apj逐对相乘之积的总和，即：122.1矩阵2.1.4矩阵的运算第二章优化设计的数学基础（3）矩阵的乘法例如：132.1矩阵2.1.4矩阵的运算第二章优化设计的数学基础（3）矩阵的乘法关于矩阵乘积的某些性质：（1）当两矩阵之积为0时，并不意味着其中之一必为零矩阵。（2）当存在AB=AC的关系时，B=C的关系
12、不一定成立。（3）当矩阵A与单位方阵相乘时，其积仍为A，即EA=A或AE=A。（4）乘积的转置(AB)T=BTAT。142.1矩阵2.1.4矩阵的运算第二章优化设计的数学基础（4）逆矩阵对于一个n阶方阵A（非奇异方阵），如果另有一个n阶方阵B，能满足两者之积等于单位方阵，即AB=E时，则B叫做A的逆矩阵，记作B=A-1。一个矩阵如果有逆矩阵，就叫它为可逆矩阵。逆矩阵是唯一的，由此推知：由此看，A也是A-1的逆矩阵。应用MATLAB求解A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];%生成矩阵Ainv(A)%求A的逆152.1矩阵2.1.4矩阵的运算第二章优化设计的数学
13、基础（4）逆矩阵把数学方程组写成矩阵的形式若矩阵A是非奇异的（即
14、A
15、≠0），则A-1以左乘上式等号两端，所以：因有，则这里，只要求出系数矩阵的逆阵A-1，再求出乘积A-1B，即可求出未知量X。162.1矩阵2.1.4矩阵的运算第二章优化设计的数学基础（4）逆矩阵在线性代数中将二次齐次函数称作二次型。其矩阵形式为：式中，G是对称矩阵。如果对任何{X}≠0的的向量都有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称对称矩阵G正定。对称矩阵G为正定的充要条件是G的各阶主子式都为正。172.2多元函数的方向导数与梯度2.2.1方向导数第二章优化设计的数学基础一个二元函数f(x1,
16、x2)在点
