几何概率的计算方法.doc

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1、几何概率的计算方法——高中数学必修3第三章3.3几何概型教学探讨汝阳县第一高中——孟臣杰从某中意义上说，几何概率是古典概率的补充和推广，在现代概率的发展中，曾经起过积极的作用。深入考察几何概率问题，对进一步理解概率的基本性质，具有十分重要的意义。本文主要讨论几何概率的计算方法，探索解题思路，总结解题技巧。解答几何概率问题，一般包含相互联系的四个步骤：1.判明问题的性质判明问题的性质是解题的第一步，就是先弄清所解的问题，是不是几何概率问题。如果问题所及的试验，具有以下两个特征：（1）.试验的样本空间包含无穷多个元素，每个样本点由几何空间（一维、二维、三维，甚至

2、n维）中的某一区域G内的点的随机位置来确定；（2）各个样本点的发生是等可能的，也就是区域G内的点的任何位置是等可能的，那么，我们就可以判断它是一个几何概率问题。2.明确参数的含义任何一个几何概率问题，它的样本点都可以归结为具有某种等可能的几何元素。为了叙述方便，通常把相应的几何元素叫做等可能值的参数，弄清具有某种等可能性的随机点是什么。也就是要正确理解“等可能”、“随机”、“均匀分布”等词在题中的实际意义，正确揭示他们的本质，以使问题的解答有一个可靠的基础。3.确定区域的测度明确了等可能值的参数以后，我们就可以根据题设条件，借助于适当的几何模型，把事件A所处

3、的样本空间和有利场合，分别与几何空间中的区域G和GA对应起来。从而，利用初等几何或微积分知识，确定G和GA测度，即计算他们的长度、面积或体积等。4.明确事件的概率确定了区域G和GA的测度后，就可以直接利用公式推求事件A的概率。几何概率的计算公式和古典概率相仿，结构比较简单，如果用L(G)和L(GA)分别表示区域G和GA的测度，那么事件A的概率是上述四个步骤是一个完整的统一体。容易看出，明确等可能值的参数，是解题的基础，确定区域的测度，是解题的关键。几何概率计算中的种种技能和技巧，大多是围绕确定L(G)和L(GA)而展开的。一、简单几何概率的解法几何概率的问题

4、，大体上可以分两类，一类是样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域已直接给出，另一类是样本空间所在的几何区域，题中没有直接指明，需要对问题做深入分析，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域。前者结构简单，易于求解；后者结构复杂，解答富有技巧性。本节重点讨论简单几何概率的解法。解答这类问题，通常可以从明确等可能值参数的含义入手，先找出相应的区域G和GA,确定他们的测度，再代入几何概率公式计算求解。例1.在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R的概率。11思考方法：由平面几何知识可知，垂

5、直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G是一维空间（即直线）上的线段MN，而有利场合所对应的区域GA，11是长度不小于R的平行弦的中点K所在的区间。[解法1].设EF与E1F1是长度等于R的两条弦，直径MN垂直于EF和E1F1，与他们分别相交于K和K1(图1-2)。依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN，有L(G)=MN=2R，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK1，有以几何概率公式得。[解法2].如图1-1所示，设园O

6、的半径为R,EF为诸平行弦中的任意一条，直径MN弦EF，它们的交点为K，则点K就是弦EF的中点。设OK=x，则x[-R,R],所以L(G)=2R设事件A为“任意画的弦的长度不小于R”，则A的有利场合是,解不等式，得所以于是[评注]本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。[例2].平面上画有一组平行线，其间隔

7、交替为1.5cm和10cm，任意地往平面上投一半径为2cm的圆，求此圆不与平行线相交的概率。[思考方法]本题的难处，在于题中没有直接指明等可能值参数，为此，需发掘“任意的往平面上投一直径为2cm的圆”之真实含义，找出具有某种等可能的随机点。注意到定半径的圆的位置决定于圆心，可以取圆心作随机点，由于平行线可以向两端无限延伸，而往平面上投圆又是任意的，所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了；考虑到题设平行线的间隔交替的为1.5cm和10cm，则研究相邻三条平行线之间情况就可以反映问题的全貌。经上面的分析，我们可以取圆心为随机点，它等可能地分布11在相邻三条平行

8、线的某一垂线上（如图1-3）由此原题不难解出。[解]