黄冈名师2020版高考数学大3.2利用导数研究函数的单调性课件理新人教A版.ppt

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1、第二节利用导数研究函数的单调性(全国卷5年6考)【知识梳理】1.利用导数研究函数的单调性在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)>0⇒f(x)在(a,b)上为_______.f′(x)<0⇒f(x)在(a,b)上为_______.f′(x)=0⇒f(x)在(a,b)上为_________.增函数减函数常数函数2.由导数求单调区间的步骤(1)求定义域.(2)求导数.(3)由导数大于0求单调递增区间,由导数小于0求单调递减区间.【常用结论】1.利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时,解不等式f′(x)

2、>0或f′(x)<0求出单调区间.(2)当方程f′(x)=0可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分区间,确定各区间f′(x)的符号,从而确定单调区间.(3)若导函数的方程、不等式都不可解,根据f′(x)的结构特征,利用图象与性质确定f′(x)的符号,从而确定单调区间.2.两个条件(1)f′(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件.(2)f′(x)≤0是函数f(x)为减函数的必要不充分条件.3.确定单调区间端点值的三个依据(1)导函数等于零的点.(2)函数不连续的点.(3)函数不可导的点.4.三点注

3、意(1)在函数定义域内讨论导数的符号.(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“∪”,可用“,”或用“和”.(3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间.【基础自测】题组一:走出误区判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果恒有f′(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.()(2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减.()(3)已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f′(x)>0恒成立.()提示:(1)√.(2)×.不一定

4、,如函数y=的导函数y′=-<0恒成立,但是函数y=的图象不是恒下降的.(3)×.不一定,如y=x3在[-1,3]上单调递增,但是y′=3x2在x=0处的值为0.题组二:走进教材1.(选修2-2P26T1改编)函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为()A.(0,1)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-令f′(x)<0,得0

5、(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性.【解析】g′(x)=f′(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx=x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx),令h(x)=x-sinx,则h′(x)=1-cosx≥0,所以h(x)在R上单调递增,因为h(0)=0,所以,当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.①当a=0时,g′(x)=x(x-sinx),当x∈(-∞,+∞)时,g′(x)≥0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.②当a>0时,g′(

6、x)=(x-a)(x-sinx),当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a<0,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增.综上,当a=0时,g(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.考点一　利用导数讨论(或证明)函数单调性【题组练透】1.函数f(x)=的图象大致为()【解析】选B.函数f(x)=的定义域为{x

7、x≠0,x∈R}

8、,当x>0时,函数f′(x)=,可得函数的极值点为:x=1,当x∈(0,1)时,函数是减函数,x>1时,函数是增函数,并且f(x)>0,选项B、D满足题意.当x<0时,函数f(x)=<0,选项D不正确.2.已知函数f(x)=lnx+a(1-x),讨论f(x)的单调性.【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.若a≤0,则f′(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;x∈时,f′(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.3.(2018·临沂

9、模拟)已知函数f(x)=x2-alnx.(1)若函数f(x)在点(3,f(3))处切线的斜率为4,求实数a的值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)f′(x)=2x-,而f′(3)=4,即2×3-=4,解得a=6.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);②当a>0时,f′(x)=