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《实变函数与泛函分析概要第1~3章复习.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英实分析多媒体教学课件DepartmentofMathematics2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英第一章复习2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英第一节集及其运算2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英集合:具有某种特定性质的事物的总体.通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示.组成这个集合的事物称为该集合的元素.一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元素。有限集无限集2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英定理1.
2、1分配律2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英定理1.2(DeMorgan公式)注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英AB（其中S为全集）,简记为Ac2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英笛卡尔乘积2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英第二节 映射.集的对等.可列集2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英一.映射原像像定义域D(f)值域R(f)1.定义2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英称f为单射；则称f为满射；若f既为
3、单射又是满射，则称f为一一映射。单射,满射,一一对应(一一映射)2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英2对等与势定义2.2设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射f（f既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为1).可数集的定义3.可数集合2021/7/25福州大学数学与
4、计算机学院聂建英例：1）Z={0，1，-1，2，-2，3，-3，…}2）[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}注：A可数当且仅当A可以写成无穷序列的形式{a1,a2,a3,…}2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英可数集性质：定理2.1任何无穷集都包含一个可数子集。（即可数集是无限集中具有最小势的集合)2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集202
5、1/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英例:有限个可数集的卡氏积是可数集设A，B是可数集，则A×B也是可数集从而A×B也是可数集（可数个可数集的并）利用数学归纳法即得有限个乘积的情形x固定，y在变2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数称为超越数。例4代数数全体是可数集常见可数集举例:2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英第三节一维开集·闭集 及其性质2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英定义3.1若集合E的每一个点都E的内点，则称E为开集。
6、2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英4.开集的性质定理3.1a.空集，R为开集;b.任意多个开集之并仍为开集；c.有限个开集之交仍为开集。AB2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英定义若Ec为开集，则称E为闭集。2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英定理3.2E为闭集的充分必要条件是证明:2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英定义若 ，则称E为完全集．2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英闭集的(等价)定义若,则E为闭集.R中只有空集和R既开又闭，存在大量既不开又
7、不闭的集合，如：E=[0,1)定义3.32021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英定理3.3任何集E的导集E`为闭集2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英闭集性质:任意一簇闭集之交为闭集；任意有限个闭集之并仍为闭集。2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英例8f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a，E={x
8、f(x)≤a}和E1={x
9、f(x)≥a}都是闭集证明：我们先证充分性：2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英2021/7/25福州大学数学与计算机学院聂建英而要证E={x
10、
11、f(x)>a}是开集，只要证Ｅ中的点都为内点()x０f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa由f(x)在x0处连续及极限的保号性知，存在δ>0,当
12、x-x0
13、<δ时,有f(x)>a任取x0∈E={x
14、f(x)>a},则f(x0)>a,必要性:若f(x)是直线上的实值连续函数，只要证对任意常数a，E={x
15、f(x)>a
