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1、第八章圆锥曲线方程双曲线第讲（第二课时）1.过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P、Q两点，求｜FP｜·｜FQ｜的值.题型3双曲线背景下的求值问题解：如右图所示，分别过点P、Q作PM、QN垂直于双曲线x2-y2=4的右准线l:x=,垂足分别为M、N.则由双曲线的第二定义可得即得又因为即所以同理可得所以点评：双曲线上一点与焦点的连线段称为一条焦半径，焦半径、点准距(点到相应准线的距离)、离心率三者之间的关系式是我们解决有关双曲线距离的重要关系式.(2010·北京卷)已知双曲线
2、-=1的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为____________．解：由题意得，椭圆+=1的焦点的横坐标为±4.由e==2，得a=2，所以b=2.故双曲线的焦点坐标为(±4,0),渐近线方程为y=±x，即x±y=0.2.已知双曲线C的方程为离心率e=，顶点到渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若,λ∈［,2］，求△AOB面积的取值范围.解法1：(1)由题
3、意知，双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为,题型4在双曲线背景下求参变量的取值范围所以即由得所以双曲线C的方程为(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x.设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.由得P点的坐标为将P点的坐标代入化简得设∠AOB=2θ，因为tan(-θ)=2,所以又
4、OA
5、=5m,
6、OB
7、=5n,所以记由S′(λ)=0，得λ=1,又当λ=1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ=时,△AOB的面积取得最大值.所以△AOB面积的取值范围是［2,］.解法2
8、：(1)同解法1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m.由题意知
9、k
10、<2,m>0.由得A点的坐标为由得B点的坐标为由得P点的坐标为将P点坐标代入得设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐标为(0,m).以下同解法1.点评：求参数或式子的取值范围问题,其策略是先根据条件选设主参数,然后利用已知条件和相关性质(如双曲线上的点的横坐标、离心率的范围)求解相应的不等式或函数式,即可解决所求问题.设离心率为e的双曲线C:的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A.k
11、2-e2>1B.k2-e2<1C.e2-k2>1D.e2-k2<1C解：由双曲线得渐近线方程为当过右焦点的直线的斜率时，直线与双曲线的左右两支分别有一个交点，此时从而解得e2-k2>1，故选C.已知点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线右支上任意一点，试推断对任意给定的点P，在x轴上是否存在两个不同的点M，使
12、PM
13、2=
14、PF1
15、·
16、PF2
17、成立？解：设点P(x0,y0)(x0≥4),M(m,0),则题型双曲线有关性质的探究与证明且所以由得即m2-2mx0+7=0.(*)因为Δ=4x02-28
18、≥4×16-28=36>0，所以方程(*)恒有两个不等实根.故对任意一个确定的点P，在x轴上总存在两个不同的点M，使
19、PM
20、2=
21、PF1
22、·
23、PF2
24、成立.1.由c2=a2+b2及a、b的几何意义可知,双曲线实轴一端点与虚轴一端点的连线段长等于半焦距.2.过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，其垂足在相应的准线上，且焦点到一条渐近线的距离等于双曲线的虚半轴长.3.对于圆锥曲线问题上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与方法处
25、理起来十分方便.
