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时间:2020-03-10
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1、第一篇分析基础1.1收敛序列(收敛序列的定义)定义:设是实数序列,是实数,如果对任意都存在自然数,使得只要,就有那么收敛,且以为极限,称为序列收敛收敛于,记为或者定理1:如果序列有极限,那么它的极限是唯一的。定理2(夹逼原理):设,和都是实数序列,满足条件如果,那么也是收敛序列,且有定理3:设是实数序列,是实数,则以下三陈述等价(1)序列以为极限;(2)是无穷小序列;(3)存在无穷小序列使得(收敛序列性质)定理4:收敛序列是有界的。定理5:(1)设,则。(2)设,,则。(3)设,,则。(1)设,,则。(2)设,,,则。(收敛序列与不等式
2、)定理6:如果,那么存在,使得时有定理7:如果和都是收敛序列,且满足那么1.2收敛原理(单调序列定义)定义:(1)若实数序列满足则称是递增的或者单调上升的,记为(2)若实数序列满足则称是递减的或者单调下降的,记为(3)单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。定理1:递增序列收敛的充分必要条件是它有上界,其上确界记为。定理1推论:递减序列收敛的充分必要条件是它有下界,其下确界记为。扩展:因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部(即从某一项之后的项)有关,所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”,即为及(
3、自然对数的底)自然对数的底通过下面这个式子求得我们先来证明序列是收敛的。(1)序列是单调上升的。对比和的展开式,前面项的每一项都比中相应项要大,即除此之外还比在最后多一个正项。因此我们得出是单调上升的,即(2)序列是有上界的。序列是单调上升且有上界,因此必是收敛的,此收敛值用表示。通过计算机模拟,我们可以得到的近似值,前几位是2.718281828459045…在数学中,以为底的对数称为自然对数,称为自然对数的底,正实数的自然对数通常记为,或者。(闭区间套原理)定理2(闭区间套原理):如果实数序列和(或闭区间序列)满足条件(1)(或者)
4、(2)那么(i)闭区间序列形成一个闭区间套。(ii)实数序列和收敛于相同的极限值。(iii)是满足以下条件的唯一实数值。证明:(ii)由条件(1)可得我们可以看到单调上升而有上界,单调下降而有下界,因此和都是收敛序列。由条件(2)可得,因此实数序列和收敛于相同的极限值。(iii)因为所以显然有假如还有一个实数满足由于那么根据夹逼准则,有则证明了是唯一的。(Bolzano-Weierstrass定理)定义:设是实数序列,而是一串严格递增的自然数,则也形成一个实数序列。我们把序列叫做序列的子序列(或部分序列),要注意的是子序列的序号是。定理
5、3:设序列收敛于,则它的任何子序列也都收敛于同一极限。证明:对于任意,存在,使得只要,就有当时就有,因而此时有定理4(Bolzano-Weierstrass):设是有界序列,则它具有收敛的子序列。(柯西收敛原理)柯西序列定义:如果序列满足条件:对于任意,存在,使得当时,就有则此序列为柯西序列,又称基本序列。引理:柯西序列是有界的。证明:对于任意,存在,使得当时,就有于是对于,我们有若记则有定理5(收敛原理):序列收敛的必要充分条件是:对任意,存在,使得当时,就有换句话说:序列收敛1.3无穷大定义:(1)设是实数序列,如果对任意正实数,存
6、在自然数,使得当时就有那我们就说实数序列发散于,记为(2)设是实数序列,如果对任意正实数,存在自然数,使得当时就有那我们就说实数序列发散于,记为(3)设是实数序列,如果序列发散于,即,那么我们就称为无穷大序列,记为注记:(1)若集合无上界,则记(2)若集合无下界,则记定理1:单调序列必定有(有穷的或无穷的)极限,具体而言是:(1)递增序列有极限,且(2)递减序列有极限,且定理2:设和是实数序列,满足条件则有:(1)如果,那么;(2)如果,那么。定理3:如果(或,或),那么对于的任意子序列也有(或,或)定理4:设,则是无穷大序列是无穷小序
7、列扩充的实数系:定理5:实数序列至多只能有一个极限。扩充的实数系中的运算:(1)如果,那么(2)如果,,那么如果,,那么(3)如果,那么(4),,,(5)除此之外,其余都没有定义。1.4函数的极限点的领域:点的去心领域:的去心领域:的去心领域:统一叙述:对于,我们用表示的某个去心邻域,当为有穷实数时,的形式为,当时,的形式为。函数极限的序列式定义:设(和都可以是有穷实数或者),并设函数在的某个去心邻域上有定义。如果对于任何满足条件的序列,相应的函数值序列都以为极限,那么我们说当时,函数的极限为,记为简单例子如:;;;;,因为;,因为;,
8、因为。定理1:函数极限是唯一的。定理2(夹逼原理):设,和在的某个去心邻域上有定义,并且满足不等式如果那么定理3:关于函数的极限,有以下的运算法则:定理4(复合函数求极限):设函数在点的某个去心邻域上有定义
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