全国高考数学二轮复习考前冲刺三第六类函数与导数问题重在“分”——分离、分解学案文.doc

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1、第六类　函数与导数问题重在“分”——分离、分解以函数为载体、以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题，多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论、复杂函数的零点的讨论、不等式中参数范围的讨论、恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题，一般先求导，再变形或分解出基本函数，再根据题意处理.【例6】(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2

2、－lnx，则f(x)＝xg(x)，(分离)f(x)≥0等价于g(x)≥0，因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，而g′(x)＝a－，g′(1)＝a－1，得a＝1.若a＝1，则g′(x)＝1－.当01时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.综上，a＝1.(2)证明　由(1)知f(x)＝x2－x－xlnx，f′(x)＝2x－2－lnx，设h(x)＝2x－2－lnx，(分解)则h′(x)＝2－.当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0.

3、3所以h(x)在单调递减，在单调递增.又h(e－2)>0，h<0，h(1)＝0，所以h(x)在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0.因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点.由f′(x0)＝0得lnx0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0).由x0∈得f(x0)<.因为x＝x0是f(x)在(0，1)的最大值点，由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.所以e－2

4、　1.(1)分离：把函数f(x)分离为x与g(x)的积.(2)分解：构造h(x)＝2x－2－lnx.2.破解策略：函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大.可以把参变量分离，把复杂函数分离为基本函数；可把题目分解成几个小题；也可把解题步骤分解为几个小步；注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分.【训练6】(2018·石家庄调研)已知函数f(x)＝(2x＋b)ex，F(x)＝bx－lnx，b∈R.(1)若b<0，且存在区间M，使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性，求实数b的取值范围；(2)若F(x＋1)>b对任意x∈(0，＋∞)

5、恒成立，求实数b的取值范围.解　(1)f′(x)＝ex(2x＋b＋2)，由f′(x)<0得x<－；由f′(x)>0得x>－.F(x)的定义域为(0，＋∞)，且F′(x)＝b－＝，∵b<0，∴F′(x)<0，即F(x)在(0，＋∞)上单调递减.∵f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性，∴－>0，得b<－2，即实数b的取值范围是(－∞，－2).(2)由F(x＋1)>b得ln(x＋1)－bx<0.∵x>0，∴b>在x∈(0，＋∞)上恒成立.3设g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝－1＝<0，∴g(x)在(0，＋∞)上递减，∴g(x)

6、ln(x＋1)－x<0，即<1，∴b≥1.因此实数b的取值范围是[1，＋∞).3