2019届高考数学二轮复习 考前冲刺三 第六类 函数与导数问题重在“分”——分离、分解学案 理

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1、第六类 函数与导数问题重在“分”——分离、分解以函数为载体、以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题,多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论、复杂函数的零点的讨论、不等式中参数范围的讨论、恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题,一般先求导,再变形或分解出基本函数,再根据题意处理.【例6】(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2

2、),设g(x)=ax-a-lnx,则f(x)=xg(x),(分离)f(x)≥0等价于g(x)≥0,因为g(1)=0,g(x)≥0,故g′(1)=0,而g′(x)=a-,g′(1)=a-1,得a=1.若a=1,则g′(x)=1-.当01时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0.综上,a=1.(2)证明 由(1)知f(x)=x2-x-xlnx,f′(x)=2x-2-lnx,设h(x)=2x-2-lnx,(分解)则h′(x)=2-.当x

3、∈时,h′(x)<0;当x∈时,h′(x)>0.所以h(x)在单调递减,在单调递增.又h(e-2)>0,h<0,h(1)=0,所以h(x)在有唯一零点x0,在有唯一零点1,且当x∈(0,x0)时,h(x)>0;当x∈(x0,1)时,h(x)<0;当x∈(1,+∞)时,h(x)>0.因为f′(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.由f′(x0)=0得lnx0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).由x0∈得f(x0)<.因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由e-1∈(0,1),f′(e-1)≠0得f(

4、x0)>f(e-1)=e-2.所以e-2

5、在区间M上具有相同的单调性,求实数b的取值范围;(2)若F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围.解 (1)f′(x)=ex(2x+b+2),由f′(x)<0得x<-;由f′(x)>0得x>-.F(x)的定义域为(0,+∞),且F′(x)=b-=,∵b<0,∴F′(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减.∵f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,∴->0,得b<-2,即实数b的取值范围是(-∞,-2).(2)由F(x+1)>b得ln(x+1)-bx<0.∵x>0,∴b>在x∈(0,+∞)上恒成立.设

6、g(x)=ln(x+1)-x,则g′(x)=-1=<0,∴g(x)在(0,+∞)上递减,∴g(x)

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