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1、第一章预备知识§1.1概率空间§1.2随机变量及其分布§1.3随机变量的数字特征§1.4特征函数、母函数§1.5收敛性与极限定理§1.1概率空间一、随机事件的公理化定义回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率等定义，有如下问题：对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的每一个子集(事件)都能确定概率?定义(σ代数)：设随机试验E的样本空间为Ω,F是Ω的子集组成的集族，满足(1)Ω∈F;(2)若A∈F,则.（对逆运算封闭）(3)若则（对可列并运算封闭）称F为Ω的一个σ-代数（事件体）,F中的集合称为事件.F的定义给出了事件间类似于代数学中的代数结构
2、.Ex1：在编号为1,2，…,n的n个元件中取一件，1.考虑元件的编号，则全体基本事件为样本空间为构造如下事件:………可验证集族组成一个σ代数.2.仅考虑元件是正品或次品，则基本事件为A1={取到正品},A2={取到次品}则为一个σ代数.Ex.2测量一个零件,考虑其测量结果与实际长度的误差.基本事件为{x},样本空间为则R1的子集全体：,单点集{x}，一切开的,闭的，半开半闭区间等组成的集族F是一个代数.另外，令={出现正误差}={出现负误差}则为一个σ代数.注：对同一研究对象的同一试验,试验目的不同,其样本空间和代数的结构会不同.定义(
3、可测空间)：样本空间Ω和σ代数的二元体(Ω,F)称为可测空间.可测空间有如下性质：1.2.对可列交运算封闭,若则有证3.对有限并,有限交封闭：若则4.对差运算封闭,即若则.二、概率的公理化定义柯氏公理体系是现代概率论的基石.定义(概率)：设(Ω,F)是一可测空间，对定义在F上的实值集函数P(A),满足1)非负性：对2)规范性:P(Ω)=1;3)完全可加性,对有称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A的概率.三元体(Ω,F,P)称为概率空间.Ex:设某路口到达的车辆数为m,基本事件为{m},样本空间F是Ω的一切子集组成的集族，则F
4、是一个σ代数.定义P(φ)=0,并对A∈F令证明P为可测空间(Ω,F)上的概率.证:1)2)因3)设有三、概率性质设(Ω,F,P)是概率空间,则概率P有如下性质:1)P(φ)=0;2)有限可加性:若则推论1:推论2(单调性):若，则P(A－B)=P(A)－P(B)且3)概率的单调性证：A1AnAn+1其中B1,B2,…互不相容，由完全可加性有收敛级数的余项极限为0,(as),即推论1：推论2：证：在推论1中ABn=An-A4）多除少补原理推论：概率具有次可加性四、条件概率定义：设(Ω,F,P)是概率空间，A,B∈F，且P(B)>0称为已知
5、事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率.定理：设(Ω,F,P)是概率空间,B∈F,且P(B)>0,则对有对应,集函数满足三条公理:条件概率是概率.定义:记PB=P(·
6、B）,则PB是可测空间(Ω,F)上的概率,称(Ω,F,PB)是条件概率空间.定理：设A是概率空间(Ω,F,P)上的正概率事件,B∈F,且PA(B)>0,则对任意C∈F有证Ex.10张签中有三张幸运签,3人依次各抽一张签,第一个人抽到幸运签,假若第二人也抽到,问第三人抽到幸运签的概率.解设Ai={第i人抽到幸运签},i=1,2,3.所求概率为五、全概率公式与Bayes公式定
7、理：设(Ω,F,P)是概率空间,若1)Ai∈F,且P(Ai)>0，(i=1,2,…n);2)完备性条件.则对任意B∈F有1)
