高考数学第5章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案理北师大版.docx

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1、第四节　数系的扩充与复数的引入[最新考纲]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

2、(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即

3、z

4、＝

5、a＋bi

6、＝.2．复数的几何意义复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算

7、定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)．3．z·＝

8、z

9、2＝

10、

11、2，

12、z1·z2

13、＝

14、z1

15、·

16、z2

17、，＝，

18、zn

19、＝

20、z

21、n.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0.(　　)(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.(

22、　　)(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、教材改编1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)A．－1　　　　　B．0C．1D．－1或1A　[∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.]2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4iD　[∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]3．设复数z满足＝i，则

23、z

24、等于(　　)A．1　　B．　　　　C．　　　　D．2A　

25、[＝i，则z＝＝i，∴

26、z

27、＝1.]4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.2＋i　[由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i.∴z＝2＋i.]考点1　复数的概念　复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．　1.若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(　　)A．－1　B．0　　　C．1　　　D．2C　[由纯虚数的概念得得m＝1，故选C.]2．(2019·长沙模拟)已知i

28、为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝(　　)A．－5B．－1C．－D．－D　[z＝＋i＝＋i＝＋i，因为复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以－＝，解得a＝－.故选D.]3．(2019·唐山模拟)已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)A．－3－iB．－3＋iC．3＋iD．3－iC　[由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i，故选C.]4．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则

29、z

30、＝(　　)A．0B.C．1D.C　[法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以

31、z

32、＝1，故选C.

33、法二：因为z＝＋2i＝＝，所以

34、z

35、＝＝＝＝1，故选C.]　解决此类时，一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．考点2　复数的运算　复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式．　(1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i(

36、2)计算：＝(　　)A．2B．－2C．2iD．－2i(3)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(