矩阵及其初等变换ppt课件.ppt

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1、第二章矩阵及其初等变换矩阵将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，使得问题变得简洁和易于了解本质，矩阵是解线性方程组的有力工具，是线性代数中的主要研究对象，矩阵理论是线性代数的基本内容.本章重点：矩阵的运算及其运算性质逆矩阵及其运算性质、存在条件、求法矩阵的分块运算法矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵的秩及其性质1§2.1矩阵的概念二、矩阵的定义与记号一、关于矩阵三、特殊矩阵四、矩阵举例2一、关于矩阵1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念.1858年卡莱（A.Cayley）建立了矩阵运算规则.矩阵的应用

2、十分广泛：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域.如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用.3二、矩阵的定义与记号Def2.1由个数排成的m行n列的数表称为行列矩阵，简称矩阵.为表示这个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作4这个数称为矩阵A的元素，简称为元，数位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的(i,j)元.以数为(i,j)元的矩阵可简记作或.矩阵A也记作矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号(在数表外加上双竖线)是

3、不同的，这是两个不同的概念.矩阵的行数和列数不一定相等.元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.5同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.矩阵相等：如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作6三、特殊矩阵行矩阵(行向量)：列矩阵(列向量)：只有一行的矩阵，记作矩阵只有一列的矩阵，记作矩阵方阵：行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵A也记作7零矩阵：对角矩阵(对角阵)：单位矩阵(单位阵)：上三角矩阵：下三角矩阵：数量矩阵(纯量矩阵)：元素

4、都是零的矩阵，记作0.不同型的零矩阵是不同的，例如不在对角线上的元素都是0.这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，用表示，即从左上角到右下角的直线(叫做(主)对角线)上的元素都是1，其它元素都是0，这种矩阵称为单位矩阵，简称单位阵，用E表示，即，在n阶方阵中，若主对角线左下方所有元素全为零，这样的方阵称为上三角形矩阵，简称为上三角阵.在n阶方阵中，若主对角线左上方所有元素全为零，这样的方阵称为下三角形矩阵，简称为下三角阵.不在对角线上的元素都0，主对角线上的元素相同，这种矩阵称为数量矩阵，又称纯量矩阵，用kE表示，即8四、矩阵举例

5、例1.1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中为工厂向第i店发送第j种产品的数量.这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中为第种产品的单价，为第种产品单件重量.从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息.9例1.2四个城市间的单向航线如下图所示，若令1234则这个图可以用矩阵表示为用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对这个图进行分析和计算.10例1.3n个变量与m个变量之间的关系式称为从变量到变量的线性变换.线性变换(1)的系数构成矩阵称为线性变换的系数矩阵，线性变换与矩阵是一一对应的.11§2.2矩阵的基本运算一、矩阵

6、的加法二、数与矩阵的乘法三、矩阵的乘法四、矩阵的转置五、方阵的行列式六、矩阵的共轭12一、矩阵的加法Def2.2两个同为的矩阵相加后得一矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和.即只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法.1314矩阵的加法运算规则交换律：结合律：设矩阵记称为矩阵的负矩阵.15二、数与矩阵的乘法（矩阵的数乘）Def2.3阶矩阵A与一个数k相乘后得一矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数.记作矩阵A的负矩阵；纯量矩阵.1617数与矩阵的乘法运算规则矩阵的加法、数与矩阵的乘法合起来，统称为矩阵的线性运算.18三、矩

7、阵的乘法某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表：空调冰箱29``彩电25``彩电甲商店30205020乙商店07100丙商店5040505019这四种产品的售价(单位：百元)及重量(单位：千克)如下:售价重量空调3040冰箱163029``彩电223025``彩电1820问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是多少？20甲商店乙商店丙商店售价重量21Def2.4设，若定义一个新的矩阵其中则称矩阵C为矩阵A与矩阵B之积，记作只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意义.乘积矩阵的第i行第j列元素等于左

8、矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和.两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数.22特别注意-乘积不可交换AB乘积一般不可以交换，(1)AB为矩阵，但BA无意义；若则称矩阵乘积可交换.(2)AB和BA均有意义，