高数下册笔记精.doc

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1、安徽建筑工业学院第七章微分方程§1微分方程的基本概念一.基本概念:1.微分方程;　凡表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程．2.常微分方程;　如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称此类方程为常微分方程．3.偏微分方程;　如果微分方程中的未知函数是多元函数，则称此类方程为偏微分方程．4.微分方程的阶;　微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，就称为此微分方程的阶．5.微分方程的解;　将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此已知函数为此微分方程的解．6.微分方程的通解:如果

2、微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分方程的通解．7.微分方程的初始条件与特解.8.微分方程的积分曲线:微分方程的解的图象是一条平面曲线，称此曲线为微分方程的积分曲线．二．例题分析P263．5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程:例1．曲线在点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方.解：设该曲线的方程为,则由题意得:.--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．例2．曲线上点处的法线与轴的交点为,且线段被轴平分.解：设该曲线的方程为,且设曲线在点P处的法线记为

3、L，则其斜率为；设法线Ｌ与Ｙ轴的交点为点Ａ，再设法线Ｌ上任意一点Ｍ的坐标为M，进而得法线Ｌ的方程为：且即；则易求得：且．．．．．．．．①由题意知点Ａ为线段的中点知：且．．．．．．．．．．②由上述①，②两式最终可得：--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．§2．可分离变量的一阶微分方程　　（注：它是一类最易求解的微分方程！）一．一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：一般形式：对称形式：二．何为可分离变量的一阶微分方程？如果某一阶微分方程由对称式：，可等价地转化为的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程．

4、三．可分离变量的一阶微分方程的基本解法：（可由如下两步来完成求解过程）第一步：进行自变量，与因变量，的左右分离；第二步：方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解．§３．一阶齐次微分方程　　（注：它是一类经变量代换之后，可转化为＂变量左右分离的一阶微分方程！）一．一阶齐次微分方程的定义：13……………………………..高数下册辅导材料------徐松林版…………………………………安徽建筑工业学院在某个一阶微分方程中，如果方程右边的函数可写成的函数式即，也即原方程形如：，则称此微分方程为一阶齐次微分方程．二．一阶齐次微分方程

5、的基本解法：转化求解法―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说，第一步，作变量代换令，则，代入原一阶齐次微分方程得：；第二步，进行变量与的左右分离得：；第三步，两边求不定积分即可得其解．．．．三．例题分析　　参见Ｐ271．例１．又如．Ｐ276．１．（4）．求方程的通解．解：原方程可转化为，作变量代换令，则；则原方程转化为：（注意：齐次方程在进行变量代换之后，一定是可以进行变量分离的！）紧接着就进行自变量与因变量的左右分离．最后两边作不定积分即可．．．§４．一阶线性微分

6、方程一．一阶线性微分方程的定义：称形如：的方程为一阶线性微分方程．（注：因为方程的左边对未知函数及其导数来说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为＂线性＂方程！）（i）.当时，则称为一阶线性齐次微分方程．（ii）.当时，则称为一阶线性非齐次微分方程．二．一阶线性微分方程的解法（常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法）１．所谓的＂常数变易法＂：就是为了求解某一阶线性非齐次方程，可先去求解与其所对应的齐次方程；然后在所得齐次方程的通解中，将任意常数Ｃ代换成一个待定的未知函数来构造生成非齐次方程的解；最后再将由此法构造生成的解，

7、代回原非齐次方程中去确定那个待定函数的表达式．―――整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法．（可参考Ｐ278．例１）２．一阶线性微分方程：的通解公式如下：―――请牢记！三．伯努利方程（注：它是一类经变量代换之后可转化为可分离变量的一阶微分方程！）１．伯努利方程的定义13……………………………..高数下册辅导材料------徐松林版…………………………………安徽建筑工业学院我们称形如：．．．．（＊）的方程为＂伯努利方程＂（或称＂级伯努利方程＂）．２．伯努利方程的解法（变量代换转化法）只要令，则，将其代入原级伯努利方程（

8、＊）可得-----这是一个一阶线性非齐次方程!进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解,这样也就求出原伯努利方程（＊）的解!３．变量代换法在求解微分方程中的运用利用变量代换（包括自变量的变量代换和因变量的变量代换），把一个微分方程转化为可分离变量方程，或转化为一个已知其求解步骤的方程，