离散数学(贾振华主编)教学课件 第五章函数.ppt

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1、第5章函数本章学习目标函数是一个基本的数学概念，在通常的函数定义中，y=f（x）是在实数集合上讨论，在这里函数的概念得到了推广，把函数看成是一种特殊的关系。本章介绍了函数的基本概念、特殊类型的函数及函数的复合运算和逆运算。通过本章学习，读者应该掌握以下内容：（1）函数的基本概念（2）单射、满射和双射函数（3）函数的复合运算（4）函数的逆运算第5章函数5.1函数的概念5.2复合函数与逆函数第5章函数5.1函数的概念5.1.1函数的基本概念定义5.1设X，Y是两个集合，f是一个从X到Y的关系。如果对于每

2、一个xX，都有唯一的yY，使得f，则称关系f为X到Y的函数，记作f：X→Y。X称作f的定义域，Y称作f的值域（也称上域）。x为函数的自变量，y称为对应于x的函数值（或称映像），写作y=f（x），由所有映像组成的集合称为函数的值域。第5章函数5.1函数的概念5.1.1函数的基本概念解f不是X到Y的函数。如对于元素2X，有<2，4>f，<2，5>f，<2，6>f，这说明X中元素2与Y中的3个元素对应，所以f不是X到Y的函数。例5.1判别下列关系中哪个能构成函数。（1）X={1，2

3、，3，4}，Y={4，5，6}，当xX，yY，且xf第5章函数5.1函数的概念5.1.1函数的基本概念（2）设N是自然数的集合，f是N到N的二元关系，对于x，yN，x+y<100。解f不是X到Y的函数。因为x不能取定义域中的所有值，且x对应多个y，故关系f不能构成函数。（3）X={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，Y={0，1}，f为X到Y的关系，对于X中的元素x为偶数时，f，否则f。解f能构成函数，因为对于每一个xX，都有唯一yY与它对应

4、。第5章函数5.1函数的概念5.1.1函数的基本概念定义5.2设函数f：X→Y，g：T→W，如果X=T，Y=W，且对于所有xX和xT有f（x）=g（x），则称函数f和g相等，记作f=g。例，设X={a，b，c}，Y={0，1}，X×Y={，，，，，}，X×Y有26个子集，但只有23个子集定义为从X到Y的函数。f0={，，}第5章函数5.1函数的概念5.1.1函数的基本概念f1={，，

5、，1>}f2={，，}f3={，，}f4={，，}f5={，，}f6={，，}f7={，，}第5章函数5.1函数的概念5.1.1函数的基本概念例5.2设X和Y都为有限集，且

6、X

7、=m，

8、Y

9、=n，问X到Y可以定义多少种不同的函数？解因为从X到Y的每一个函数的定义域都是X，在这些函数中，每一个恰有m个序偶。另外，对于任何x

10、X，可以有Y中的n个元素中的任何一个作为它的像，所以共有nm个不同的函数。第5章函数5.1函数的概念5.1.2几种特殊的函数定义5.3设函数f：X→Y，如果函数的值域为Y，即Y中的每一个元素是X中一个或多个元素的映像，则称f为X到Y的满射函数。设f：X→Y是满射函数，即对于任意的yY，必存在xX使得f（x）=y成立。例如：A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，如果f：A→B为f（1）=a，f（2）=c，f（3）=b，f（4）=c，则f是满射。第5章函数5.1函数的概念5.1.2几种特殊的函

11、数定义5.4设函数f：X→Y，如果对于X中的任意两个元素x1和x2,，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），则称f为X到Y的单（入）射函数。例如：A={1，2，3}，B={a，b，c，d}，如果f：A→B为f（1）=a，f（2）=c，f（3）=b，则f是单射。第5章函数5.1函数的概念5.1.2几种特殊的函数定义5.5设函数f：X→Y，如果f既是满射又是单射函数，则称这个函数为双射函数。例如：A={1，2，3}，B={a，b，c}，如果f：A→B为f（1）=a，f（2）=c，f（3）=b，则f

12、既是单射又是满射，所以是双射函数。第5章函数5.1函数的概念5.1.2几种特殊的函数例5.3判定下列函数是单射、满射函数，还是双射函数。（1）集合A={1，2，3，4}，B={a}，f是A到B的函数，且f（1）=a，f（2）=a，f（3）=a，f（4）=a。解f是A到B的满射函数。（2）集合A={1，2，3}，B={a，b，c，d}，f是A到B的函数，且f（1）=a，f（2）=d，f（3）=c。解f是A到B的单射函数。第5章函数5.1函数的概念5.1.2几种特殊的函数