综合法与分析法.ppt

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1、2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法理解综合法和分析法的概念及它们的区别，能熟练地运用综合法、分析法证题．本节重点：综合法与分析法的概念及用分析法与综合法证题的过程、特点．本节难点：用综合法与分析法证明命题．1．分析法与综合法既有区别又有联系，分析法是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，每步推理都是寻找该步结论的充分条件，是“执果索因”，综合法是从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，每步推理都是“由因导果”，而实际解决问题时，常将两种方法结合起来使用．由已知条件看能得到哪些明显的结论，看待证结论需要这些结论中的哪些才能获证，常常是“分析找思路，综合写过程

2、”．2．综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．综合法和分析法综合法分析法定义利用和某些数学、、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、等)，这种证明方法叫做分析法已知条件定义公理定理推理论证结论出发充分条件定理、定义、公理综合法分析法框图表示(P表示、已有的等，Q表示)特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法已知条件定义、公理、定理所要

3、证明的结论例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:1.综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的

4、逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．方法归纳方法归纳3．综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法．一般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性．方法归纳设a,b,c>0,证明：本题因为有三项分式，不主张用分析法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用.这里可从去分母的角度去运用基本不等式.证明∵a,b,c>0，根据基本不等式，例2练习[分析]不等式中的a，b，c为对称的，

5、所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根据不等式的性质推导出证明的结论．[证明]∵a2＋b2≥2ab，a>0，b>0，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2.∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.将三式相加得：2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋bc2＋b2c＋a2c＋ac2，∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．符号语言

6、图形语言文字语言学会语言转换找出隐含条件练习[分析]要证明上述不等式成立，暂无条件可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，即用分析法证明．[点评](1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．方法归纳练习练习已知a>0,求证:证明[例5]△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A、B、C的对边

7、分别为a、b、c.[分析]条件与结论跨越较大，不易下手，可考虑用分析法证明；由于分析法是执果索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分析法的倒退过程就是综合法．只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2得证．综合法：证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列，∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，得c2＋a2＝ac＋b2，等