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1、温控设备问题及答案在某一温控设备中有一水平放置的弹性圆柱形细杆,左端与壁垂直固联(以固联处为坐标原点,梁的中心轴线位于x轴上,杆长L=34mm,抗弯刚度EI=1318.4N·mm2（牛·毫米平方）细杆右端与一竖直的钢臂相连,在臂的两端对称于细杆用两根水平放置的相同弹簧(不受力时长度L0=21mm)与壁相连,两弹簧之间距h=11mm.设两根弹簧的刚性系数k与温度T(ºC)有关:当T在35ºC到60ºC之间时k=0.034+0.061[1+sin(0.04π(T-47.5))](N/mm),其他温度时刚性系数不变,即T>60ºC时,k=0.156(N/
2、mm),T<35ºC时,k=0.034(N/mm).问题是当上弹簧温度为60ºC,下弹簧温度为35ºC时,画出细杆的中心轴线的形状并求出细杆的中心轴线右端坐标(x0,y0)(mm)以及转角θ0(弧度)的数值(假定钢臂、钢臂与细杆的夹角都没有形变,并且忽略重力及细杆的轴向形变).建立数学模型：设细杆的中心轴线弧长s为自变量,在坐标原点弧长为零,z是曲线的切线的倾角,由力学原理,两弹簧对弹性杆的拉力F1,F2作用在点上,可归结为以下常微分方程组的初值问题：(1)其中M是两个弹簧的拉力F1,F2作用在点上的总力矩,逆时针方向为正.由弹性力作用在壁上和钢臂
3、上是大小相等,方向相反,钢臂和细杆的夹角也是直角.如果把壁当作钢臂,则由几何的对称性,细杆关于中点应是轴对称的,故两弹簧应当是平行的,两端点的曲率相等,因此由两弹簧的平行性可得.(2)作坐标系的旋转,.(3)使得细杆的两个端点位于轴上,弹簧的拉力平行于轴,这样容易计算力矩M,方程组(1)化为5(4)其中,(5)分别是上、下弹簧拉力的大小.,,(6)分别是上、下弹簧的长度对方程组(4)的第三个方程关于s求导,并利用(4)中的第2个方程,得二阶微分方程的边值问题,,,(7)这方程还要满足条件,才能确定未知参数.方程(7)的解要用椭圆函数来表示,加上参数
4、是未知的,要求(7)的解析解是不容易的.因此在大挠度的形变时,还是要用数值计算来解决问题.用坐标变换(3)的逆变换,得方程组(1)的具体形式(8)方程组(8)的解在右端点要满足条件,,以下是用数值求解方程组(1)的方法：任意给定细杆的右端点的值,求解常微分方程组的初值问题的解,可以得到一组新的右端点的值,若,则得到了解,5因此问题就转化为求方程的根的问题,可以用MATLAB的求根函数fsolve来求,也可以用叠代法求方程的根,对于本题用叠代法较好.(2)式可以用来检验结果.以下是MATLAB的叠代程序,输入上、下弹簧的温度向量t=[t1,t2],画
5、出杆的中心轴线的形状及给出右端坐标(x0,y0)(毫米)以及转角θ0(弧度)的数值,输出w=[x0,y0,z0].对于不太大的挠度,初值可取为[x0,y0,z0]=[L,0,0].对于本题的数据,在叠代时w的三个分量都是单调变化而趋于有限的极限.叠代7次就得到精度为5位有效数字的解.主程序function[w,err]=exliang(t)%t=[t1,t2]是上,下弹簧的温度,err是误差T=satlins(0.08*t-3.8);%t的分量大于60时T的相应分量为1,t小于35时为-1.k=0.034+0.061*(1+sin(0.5*pi*T
6、));%上、下弹簧的刚性系数上下温差最大时k=[0.156,0.034]Y0=[0,0,0];L=34;%常微分方程的初值条件,杆长数据w0=[L,0,0];%设定杆右端点的初值.options=odeset;options.RelTol=1e-10;options.AbsTol=1e-10;%ode45误差设定forii=1:100%叠代,最大叠代次数限制为100,对于k的直到k=[0.9,0.034],叠代都是收敛的,[s,Y]=ode45(@liang,[0L],Y0,options,w0,k);%调用ode45数值求解常微分方程w=Y(en
7、d,:);err=norm(w-w0,1);%杆右端点的新值及新、旧值的差的模iferr<1e-12;plot(Y(:,1),Y(:,2));axisequal;holdon;plot([0,w(1)-11*sin(w(3))/2;w(1)+11*sin(w(3))/2,0],[11/2,w(2)+11*cos(w(3))/2,w(2)-11*cos(w(3))/2,-11/2],'r-');return;endw0=w,%以杆右端点的新值代替杆右端点的初值,循环end常微分方程向量场子程序functionF=liang(s,w,w0,k)%杆右端
8、点的初值w0及刚度系数k为方程的参数h=[11,-11];EI=1.3184e3;L0=21;%已给数据u=cos(w0(
