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1、“覆水难收”一-数列探究刘红升胶州实验中学2010.10.19晚数列命题与解题就好似倒一杯水与收回这杯水！（一）问题："已知中,Q”+i=2S“,％=1,求a“及S“."（法一）消"ci「:%=2S“，a“=2S_],相减得:all+i-an=2an（n>2）,W：an+｝=3art（n>2）以下略！（法二）消“S“”:%=2S“，得:S曲-S”=2S”,得:S曲=3S“,以下略！“两个方向”均为“通法”！（二）揭秘:此题的“命题灵感”为：由一个等比数列开始“若仅｝为首项为1,公比为3的等比数列。”由此将其形式向仏与S〃.”关系的方向发展！其过程非常简单：S曲=3S”・
2、,得:S“+%7・・即:暫+广2SJ将此过程倒置就编出了此题!体会：L其实，命题过程与解题过程互逆！"命题灵感”来自“等差、等比”十分朴素、自然！考试说明对数列共6条要求其中4条指向“等差、等比”！而且另外两条均是了解!2,由此给我们提供了一种“创新”方法，“创新意识”是考试说明中两大意识之一!（三）探寻:既然“命题灵感”如此朴素、简单、自然！我们禁不住有“创造”的冲动!我们如果以”｛+｝为首项1,公差1的等差数列”为命题灵感呢?由“命题灵感”出发:-——=I,向附与S”的方向发展:=I,整理得:一—SnS-iSnSn-ananSfl-Sn一道新题诞生：“已知仏｝中，5
3、=1,—^^=1（沦2）,求爲及SJ”但是较难分析“｛右｝等差数列！完善此题：“已知仏」中，卬=1,―=1（22）,求先证明［丄］为等差数列再求％!”d“S“-S“［S”J突然发现此题与2008山东理科19文科20题一样！2008山东理科19文科20：q=%=1・Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足--也-、、=1（/1三2）・—S；（I）证明数列;成等差数列，并求数列仇｝的通项公式；原来高考题的命题如此单、朴素、自然!（四）对比:如果我们的“命题灵感”：“｛仗（1+色）｝为公比2的等比数列”！有灵感出发可得:lg(l+%i)=21g(l+a“)lg(l+a”+J=lg
4、(l+%)2,得：l+d“+]=(1+q“)2,得：an+｝+2%.将此过程倒置就制造出"2006山东高考理科22题！”2006山东理科22：已知a〕=2,点（an,all+i）在函数/（x）=x2+2兀的图象上，其中刃=1,2,3,…（1）证明数列｛即+叩｝是等比数列;如果我们的“命题灵感”：“5-1｝为公比彳的等比数列”！有灵感出发可得：=，得：2（an+lan）=an-an-an--1213若我们命其®=_，禺=一,就可得：2aj-2~406山东文科22：■an-~1，得：2d“+i-an=2an-an_x+1,得2an+｝-］为等差,20F=加此过程倒置
5、就是2006山东文科22题！已知数列｛cin｝中,a,=-.点Cn.2an+i-an)在直线y二X上，其中n=l,2,（I）令仇二％-绻-1,求证数列儘淀等比数列;（五）总结：我们不难发现：依据简单、朴素、自然的“命题灵感”就可以制造很多复杂的数列题目，而且“命题过程”与“解题过程”很可能“天壤之别”——如同“倒一杯水与收这杯水！”如果不提供“合理提示”（即命题灵感!）那么就会很有技巧！比如:2"+n+Z/-I如果我们以“｛旣｝为公差为啲等差数列”为灵感:=1,整理得：alt=22,,_1++z?2”t+(m_1)2“+〃仪_1)_(2心+n-2)Sn我们可以想象将此过
6、程倒置后“制造”的题目估计就算“提示”可能也很难处理!也许这就是“递推”不出现在考试说明的原因。但是经过提示后此类题目就成为考察“等差、等比”定义的题目，并不依赖递推技巧!类似的灵感很多：如2"为公差为的等差数列厂为灵感知勞Cln--2灯=1,得：©=2%+2〃-1.又可以变出这样的题目:数列仏冲,®十”=2%+2—1.•是否存在2,使得也二为等差数列?2如果以閉,｛彗,仅+町,侥+2“｝。。。。。。为等差或等比数列？感慨：此类题目编题远比解决容易-一覆水难收!
