2018_2019学年高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.2排序不等式导学案新人教B版.docx

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1、2.2　排序不等式1.了解排序不等式的“探究—猜想—证明—应用”的研究过程.2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.自学导引设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为两个实数组的反序积之和(简称反序和).称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).不等式a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋

2、…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn称为排序原理，又称为排序不等式.等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn，排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和.基础自测1.已知a，b，c∈R*，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小关系是(　　)A.a3＋b3＋c3>a2b＋b2c＋c2aB.a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2aC.a3＋b3＋c30，∴a2≥b2≥c2，故顺序和为a

3、3＋b3＋c3，则a2b＋b2c＋c2a为乱序和，由排序不等式定理知a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，故选B.答案　B2.已知a，b，c∈R*，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(　　)A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零解析　不妨设a≥b≥c，∴a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc，∴a2－bc≥b2－ac≥c2－ab，由排序不等式定理，a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.10答案　B3.设a1，a2，a3，…，an为正数，那么P＝a1＋

4、a2＋…＋an与Q＝＋＋…＋＋的大小关系是________.解析　假设a1≥a2≥a3≥…≥an，则≥≥…≥≥，并且a≥a≥a≥…≥a，P＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＋＋＋…＋，是反顺和，Q是乱顺和，由排序不等式定理P≤Q.答案　P≤Q知识点1　利用排序原理证明不等式【例1】已知a，b，c为正数，求证：≥abc.证明　根据所需证明的不等式中a，b，c的“地位”的对称性，不妨设a≥b≥c，则≤≤，bc≤ca≤ab.由排序原理：顺序和≥乱序和，得：＋＋≥＋＋.即≥a＋b＋c，因为a，b，c为正数，所以abc>0，a＋b＋c>

5、0，于是≥abc.1.已知a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，求证：(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≥(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn).证明　令S＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，则S≥a1b2＋a2b3＋…＋anb1，S≥a1b3＋a2b4＋…＋anb2，……S≥a1bn＋a2b1＋…＋anbn－110将上面n个式子相加，并按列求和可得nS≥a1(b1＋b2＋…＋bn)＋a2(b1＋b2＋…＋bn)＋…＋an(b1＋b2＋…＋bn)＝(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)∴S≥(a

6、1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)即(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≥(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn).【例2】设a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数，求证：1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋.证明　∵12<22<32<…>…>.设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an由小到大的一个排列，即c1

7、∴1＋＋＋…＋≤a1＋＋…＋.2.设c1，c2，…，cn为正数组a1，a2，…，an的某一排列，求证：＋＋…＋≥n.证明　不妨设0

8、＋取最小值.3.设0