非线性方程解法二分法实验报告.doc

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1、第七章非线性方程解法⒈二分法考察有根区间[a,b]，取中点x0=(b+a)/2将它分为两半，假设中点x0不是f(x)的零点，然后进行根的搜索，即查找f(x0)与f(a)是否同号，如果确系同号，说明所求的根x在x0的右侧，这是令a1=x0，b1=b;否则x必在x0的左侧，这是令a1=a,b1=x0,不管出现哪一种情况，新的有根区间[a,b]的长度仅为[a,b]的一半。.重复以上做法得新近似根x1,…这样不断将区间分半,得到一系列区间[a,b],和近似根(区间中点),n=0,1,2,3…,误差为(b-a)/2n+1.这样的方法称为二分法。下面是一个关

2、于二分法的例子。例1求f(x)=x3-x-1=0在区间[1,1.5]内的一个实根，要求准确到小数点后的第二位.这里a=1,b=1.5,而f(a)<0,f(b)>0。取[a,b]的中点x0=1.25，将区间二等分，由于f(x0)<0,既f(x0)与f(a)同号，故所求的根x必在x0右侧，这是应令a＝x0=1.25,b=b=1.5,而得到新的有根区间［a，b］，这样继续结果如下表：nF()有根区间误差限01.25-[1.25,1.5]0.5/211.375+[1.25,1.375]0.5/2221.3125-[1.3125,1.375]0.5/233

3、1.34375+[1.3125,1.34375]0.5/2441.3281+[1.3125,1.3281]0.5/2551.3203-[1.3203,1.3281]0.5/2661.3242  0.5/27x6=1.3242,误差限0.00390625(真值ξ=1.3247…,e*=-0.0005…).有三位有效数字.实际上x5就有三位有效数字了.二分法实验(1)上机题目：二分法的应用实验目的：熟悉二分法并在计算机上实现实验要求：①上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序；②完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言，

4、算法步骤陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等等；③用编好的程序在Ｍatlab环境中执行。算法说明：①找出计算f(x)在有限根区间[a,b]端点的值，f(a),f(b)②计算计算f(x)在区间中点（）处的值f().③判断若f()=0，则即是根，计算过程结束，否则检验若f()f(a)<0,则以代替b,否则以代替a.反复执行步骤②和步骤③，直到区间[a,b]长度小于允许误差，此时中点即为所求近似根。计算例题：求f(x)=x3-x-1在[1,1.5]的零点.f(1)<0,.f(1.5)>0,delta=10Matlab程序：(希望学生们以自

5、己的方法去编一个程序，把下面程序看作是理解的摸板，不看，等自己完成了进行比较)functionx=erfenfa(f,a,b,n,delta)f=inline(f);%定义f.yb=feval(f,b);disp('ix')%以指定格式输出'i','x'fori=1:nya=feval(f,a);%f的在a点的值给yb.s=(a+b)/2;%开始二分区间c=feval(f,s);%计算ifc==0%判断二分区间breakelseif(c*ya)<0b=s;elsea=s;endifabs(b-a)

6、f('%d%10e',i,s))%以以上规定格式输出解果end计算例题结果为：x=erfenfa('x^3-x-1',1.0,1.5,6,10^(-3))ix11.250000e+00021.375000e+00031.312500e+00041.343750e+00051.328125e+00061.320313e+000x=1.3203分析：二分法的优点是算发简单，且总是收敛的。缺点是收敛速度太慢复习思考题1.什么叫二分法，它的优点是什么？如何估计误差？在什么情况下不能用二分法求根？2.什么是简单迭代法？它的收敛条件是什么？误差估计式（2-5

7、）、（2-6）各有何特点？说明什么问题？3.迭代格式的收敛速度是如何定义的？如何判别一个迭代格式是几阶收敛的？4.牛顿迭代格式是什么？它是怎样导出的？有何几何意义？有什么优缺点？与割线法有何区别？