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时间:2020-03-13
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1、反比例函数的图象与性质本课内容本节内容1.2复习什么是反比例函数?一般地,形如y=(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数.其中k是反比例系数.研究一个函数要从函数的图象入手,总结函数的性质.反比例函数的图象是什么形状的?它的图象又有什么规律和性质?带着这些疑问我们开始下面的学习.探究反比例函数(k为常数,k≠0)的图象是什么样子呢?我们先将k取为6,画出反比例函数的图象并进行观察.想想我们为什么要取k=6?列表比一比举例列表比一比你的取值和老师的取值一样吗?取值的时候应该注意什么?比一比,你画对了吗?下面的图象都出现了什么错
2、误?观察画出的的图象,思考下列问题:(1)每个函数的图象分别位于哪些象限?可以发现这两个函数的图象均由两支曲线组成,且分别位于第一、三象限.对于y轴右边的点,当自变量x逐渐增大时,函数值y反而减小;对于y轴左边的点也有这一性质.(2)在每一象限内,函数值y随自变量x的变化如何变化?一般地,当k>0时,反比例函数的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.结论我们知道反比例函数中的k值也可以是负数,以k=-6为例,如何画反比例函数的图象?的图象与的图象有什么
3、关系?动脑筋法一:列表描点作图法二:利用对称性当x取任一非零实数a时,的函数值为,而的函数值为,从而都有点P(a,)与点Q(a,)关于x轴对称,因此的图象与的图象关于x轴对称.于是只要把的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来,就得到的图象.从图中看出:的图象由分别在第二、四象限的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.类似地,当k<0时,反比例函数的图象与的图象关于x轴对称.从而当k<0时,反比例函数的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内
4、,函数值y随自变量x的增大而增大.反比例函数(k为常数,k≠0)的图象是由两支曲线组成的,这两支曲线称为双曲线(hyperbola).反比例函数y=—(k≠0)有下列性质:(1)反比例函数的图象是由两支曲线组成的.一三(3)当k<0时,两支曲线分别位于第___、___象限,在每个象限内y随x值的增大而.二四(4)反比例函数图象与坐标轴不相交.(5)反比例函数y=—(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称.kxkx减小增大(2)当k>0时,两支曲线分别位于第___、___象限,在每个象限内y随x值的增大而.例1.已知反比例
5、函数的图象经过点P(2,4).(1)求k的值,并写出该函数的表达式;(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x的增大如何变化?举例例1.已知反比例函数的图象经过点P(2,4).(1)求k的值,并写出该函数的表达式;解:因为反比例函数的图象经过点P(2,4),即点P的坐标满足这一函数表达式,因而4=,解得k=8.因此,这个反比例函数的表达式为.举例例1.已知反比例函数的图象经过点P(2,4).(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在
6、这个函数的图象上;解:把点A,B的坐标分别代入,可知点A的坐标满足函数表达式,点B的坐标不满足函数表达式,所以点A在这个函数的图象上,点B不在这个函数的图象上.例1.已知反比例函数的图象经过点P(2,4).(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x的增大如何变化?解:因为k>0,所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.例2.如图是某反比例函数的图象.根据图象,回答下列问题:(1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由;(2)如果点A(-3,y1),B(-
7、2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.举例例2.如图是某反比例函数的图象.根据图象,回答下列问题:解(1)由图可知,反比例函数的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该图象上的两点,且-3<0,-2<0,所以点A,B都位于第三象限.又因为-3<-2,由反比例函数图象的性质可知:y1>y2.举例说一说从反比例函数的解析式中再分析1.为什么反比例函数当k>0时,图象经过一、三象限?当k<0时,图象经过二、四
8、象限?由解析式可知:当k>0时,x和y同号,因此图象经过一三象限.当k<0时,x和y异号,因此图象经过二四象限.说一说从反比例函数的解析式中再分析2.为什么反比例函数的图象不会与坐标轴相交?由解析式可知:x不可以取数值0,因此图象与y轴无交点;因k≠0,所以y≠0,因此图像与
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