2、,已知圆弧的半径为R,则( BD )A.在最高点A,小球受重力和向心力B.在最高点A,小球受重力和圆弧的压力C.在最高点A,小球的速度为D.在最高点A,小球的向心加速度为2g解析:小球在最高点受重力和压力,由牛顿第二定律得N+mg=ma,又N=mg,所以a=2g,据a=知,2g=,解得v=,B,D正确.3.一对男女溜冰运动员质量分别为m男=80kg和m女=40kg,面对面拉着一弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演,如图所示,两人相距0.9m,弹簧测力计的示数为9.2N,则两人( B )A.速度大小均为40
3、m/s7B.运动半径分别为r男=0.3m和r女=0.6mC.角速度均为6rad/sD.运动速率之比为v男∶v女=2∶1解析:因为两人的角速度相等,由F=mω2r以及两者的质量关系m男=2m女可得,r女=2r男,所以r男=0.3m,r女=0.6m,选项B正确;由公式可得角速度均为0.62rad/s,运动速率之比为v男∶v女=1∶2,选项A,C,D错误.4.两个质量相同的小球,在同一水平面内做匀速圆周运动,悬点相同,如图所示,A运动的半径比B的大,则( A )A.A所需的向心力比B的大B.B所需的向心力
4、比A的大C.A的角速度比B的大D.B的角速度比A的大解析:小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力,设悬线与竖直方向夹角为θ,则F=mgtanθ=mω2lsinθ,θ越大,向心力F越大,所以选项A对,B错;而ω2==,故两者的角速度相同,故选项C,D错.5.(多选)如图所示,质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中,盒子的边长略大于球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动,已知重力加速度为g,空气阻力不计,要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力,则( CD )A.在最高点小球的速度
5、水平,小球既不超重也不失重B.小球经过与圆心等高的位置时,处于超重状态C.盒子在最低点时对小球弹力大小等于2mg,方向向上D.该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2π解析:在最高点小球的加速度为g,处于完全失重状态,A错误;小球经过与圆心等高的位置时,竖直加速度为零,既不超重也不失重,B错误;在最高点有mg=m,解得该盒子做匀速圆周运动的速度v=,该盒子做匀速圆周运动的周期为T==2π7,选项D正确;在最低点时,盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力,由F-mg=m,解得F=2mg
6、,选项C正确.6.在用高级沥青铺设的高速公路上,汽车的设计时速是108km/h.汽车在这种路面上行驶时,它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍.(g取10m/s2)(1)如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯,假设弯道的路面是水平的,其弯道的最小半径是多少?(2)如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥,要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥,这个圆弧拱桥的半径至少是多少?解析:(1)汽车在水平路面上拐弯,可视为汽车做匀速圆周运动,其向心力由车与路面间的静摩擦力提供,当静摩擦力达到最大值时,由向心力
7、公式可知这时的半径最小,有Fm=0.6mg=m,由速度v=30m/s,得弯道半径r=150m.(2)汽车过拱桥,看做在竖直平面内做匀速圆周运动,到达最高点时,根据向心力公式有mg-N=m,为了保证安全,车与路面间的弹力N必须大于等于零,有mg≥m,则R≥90m.答案:(1)150m (2)90m7.如图所示,一正立圆锥的顶角θ=74°,一根长l=0.5m的轻绳一端固定在圆锥顶点,另一端系一质量m=2kg的小球,轻绳和圆锥的母线刚好平行,求:(g取10m/s2)(1)当圆锥以角速度ω1=3rad/s匀
8、速转动时,绳的张力T1;(2)当圆锥以角速度ω2=6rad/s匀速转动时,绳的张力T2.解析:(1)确定小球运动的轨道面和圆心,对小球进行受力分析,如图1所示.显然这里讨论的是小球与锥面间的接触问题,涉及的有界力为弹力N,其界值为零,代入处理有Tsin37°=mrω2,Tcos37°=mg,r=lsin37°解得临界角速度为ω=5rad/s.当ω1<ω时,球将压紧锥面,此时,小球的受力情况如图1所示,分别沿半径方向和垂直半径方向列方程有T1sin37°-Ncos37°
