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1、曲线积分与曲面积分的计算080122011014工程管理孟令清一、第一类曲线积分的计算:设有光滑曲线,.是定义在上的连续函数.则.(证)[1]P357若曲线方程为:,则.的方程为时有类似的公式.例题：计算积分,其中是球面被平面截得的圆周.[1]P359E3解由对称性知,,=.(注意是大圆)二、第二类曲线积分的计算:曲线的自然方向:设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线,L:.A,B;函数和在L上连续,则沿L的自然方向(即从点A到点B的方向)有.6（一）Green公式:若函数P和Q在闭区域DR上连续,且有连续的一阶
2、偏导数,则有,其中L为区域D的正向边界.应用举例:对环路积分,可直接应用Green公式.对非闭路积分,常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.例题：计算积分,其中AB.曲线AB为圆周在第一象限中的部分.6解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为.方向为自然方向的反向.因此.解法二(用Green公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点),成闭路.设所围区域为D,注意到D为反向,以及,有.（二）曲线积分与路线无关性:积分与路径无关的等价条件:设DR是单连通闭区域.若函数和在闭区域D内连续,且有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价:ⅰ>沿D内任一按段光滑的闭合曲线L,
3、有.ⅱ>对D内任一按段光滑的曲线L,曲线积分与路径无关,只与曲线L的起点和终点有关.ⅲ>是D内某一函数的全微分,即在D内有.ⅳ>在D内每一点处有.三、第一类曲面积分的计算:设有光滑曲面.为上的连续函数,则.66四、第二型曲面积分的计算:设是定义在光滑曲面D上的连续函数,以的上侧为正侧(即),则有.（一）第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系:6设为曲面的指定法向,则.（二）Gauss公式:设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面围成.若函数在V上连续,且有连续的一阶偏导数,则,其中取外侧.例：计算积分，为球面取外侧.(参阅上节例2)解.由Gauss公式.（三）St
4、okes公式:空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系:右手螺旋法则,即当人站在曲面的正侧上,沿边界曲线L行走时,若曲面在左侧,则把人的前进方向定为L的正向.Stokes定理:设光滑曲面的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数、和在(连同L)上连续,且有一阶连续的偏导数,则6.其中的侧与L的方向按右手法则确定.Stokes公式也记为.6
