高考数学必修知识讲解《解三角形》全章复习与巩固基础.doc

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1、《解三角形》全章知识复习与巩固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）；（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解

2、，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二：余弦定理在△ABC中，，，变形为：，，要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用.要点三：三角形的面积公式(1)，其中为边上的高(2)（3），其中要点四：三角形形状的判定方法设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，解斜三角形的主要依据是：（1）角与

3、角关系：由于A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；；（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－bb；（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边.要点诠释：①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充

4、分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.要点五：解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【典型例题】类型一：正、余弦定理的基本应用例1.如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝．(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．【答案】(1);(2)7【思路点拨】（1）在三角形ADC中，由已知条件和外角定理可求得sin∠BAD；（2）利用正弦定理和余弦定理分

5、别求得BD，AC的长。【解析】(1)在△ABC中，∵cos∠ADC＝，∴sin∠ADC＝，则sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC•cosB－cos∠ADC•sinB＝．(2)在△ABD中，由正弦定理得，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB•BCcosB＝82＋52－2×8×5×＝49，即AC＝7．【总结升华】解答此类问题应注意以下几点：（1）画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求；（2）明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解；（3）注意对三角形的内角和定理、大

6、边对大角定理的灵活运用，避免增解、漏解的现象.举一反三：【变式1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为　　．【答案】在△ABC中，∵b－c＝a①，2sinB＝3sinC，∴2b＝3c②，∴由①②可得a＝2c，b＝．再由余弦定理可得，故答案为：－．【变式2】在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，，则AC＝_______．【答案】由正弦定理得，即，得．类型二：正、余弦定理的综合应用例2.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知．

7、（1）求sinC的值；（2）当a＝2，2sinA＝sinC时，求b及c的长．【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得sinC的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c，要求边b，考虑用余弦定理，即先求出cosC的值.【解析】（1）因为，及，所以．（2）当a＝2，2sinA＝sinC时，由正弦定理，得c＝4．由，及得．由余弦定理得，得．解得或．所以或【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理

8、，实施边、角互化.举一反三：【变式1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A的度数为【答案】，，∴，∴在△ABC中A＝30°【变式2】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=2