高考数学必修知识讲解《解三角形》全章复习与巩固提高.doc

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1、《解三角形》全章知识复习与巩固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）；（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现

2、无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二：余弦定理在△ABC中，，，变形为：，，要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用.要点三：三角形的面积公式(1)，其中为边上的高(2)（3），其中要点四：三角形形状的判定方法设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，解

3、斜三角形的主要依据是：（1）角与角关系：由于A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；；（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b

4、分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.要点五：解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【典型例题】类型一：正、余弦定理的基本应用例1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C＝2B．(1)求cosB的值；(2)若b2＝ac，求sinAsinC的值．【思路点拨】由题设“A+C＝2B”易知B＝60°，又由边之间的关系“b

5、2＝ac”，如何求“sinAsinC”的值？正、余弦定理的运用都可以求出值.【解析】(1)由已知2B＝A+C，A+B+C＝180°，解得B＝60°，所以．(2)解法一：由已知，及，根据正弦定理得，所以．解法二：由已知，及，根据余弦定理得，解得a＝c，所以A＝C＝B＝60°，故．【总结升华】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是考试的重点，注意灵活利用三角形中的内角和定理，实现角的互化，灵活利用正、余弦定理的变形.举一反三：【变式1】在△ABC中，a＝1，b＝2，，则c＝　　　；sinA＝　　．【答案

6、】∵在△ABC中，a＝1，b＝2，，∴由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－1＝4，即c＝2；∵，C为三角形内角，∴∴由正弦定理得：．故答案为：2；【变式2】在△ABC中,若,,,则___________.【答案】在中,得用余弦定理,化简得,与题目条件联立,可解得.故答案为.类型二：正、余弦定理的综合应用例2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知＝2，cosB＝，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cos(B－C)的值．【答案】(Ⅰ)a＝3，c＝2，(Ⅱ)．【思路点

7、拨】（1）由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角的正弦值.【解析】(Ⅰ)∵＝2，cosB＝，∴c•acosB＝2，即ac＝6①，∵b＝3，∴由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋c2－4，∴a2＋c2＝13②，联立①②得：a＝3，c＝2；(Ⅱ)在△ABC中，sinB＝，由正弦定理得：sinC＝sinB＝，∵a＝b＞c，∴C为锐角，∴cosC＝，则cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋．【总

8、结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.举一反三：【变式1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（　　）A．4:3:2B.5：6