初中数学中考压轴题真题解析.docx

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1、2014上海中考数学压轴题复习2012/5/262001年上海市数学中考27.已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.(1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.图8①求证;△ABP∽△DPC②求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;②当CE=1时,写出AP的长(不必写出解题过程).27.(1)①证明:∵∠ABP=180°-∠A-∠A

2、PB,∠DPC=180°-∠BPC-∠APB,∠BPC=∠A,∴∠ABP=∠DPC.∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∴∠A=∠D.∴△ABP∽△DPC.②解:设AP=x,则DP=5-x,由△ABP∽△DPC,得,即,解得x1=1,x2=4,则AP的长为1或4.(2)①解:类似(1)①,易得△ABP∽△DPQ,∴.即,得,1<x<4.②AP=2或AP=3-.(题27是一道涉及动量与变量的考题,其中(1)可看作(2)的特例,故(2)的推断与证明均可借鉴(1)的思路.这是一种从模仿到创造的过程,模仿即借鉴、套用,创造即灵活变化,这是中学生学数学应具备的一种基本

3、素质,世上的万事万物总有着千丝万缕的联系,也有着质的区别,模仿的关键是发现联系,创造的关键是发现区别,并找到应付新问题的途径.)上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试 27.操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.图5图6图7  探究:设A、P两点间的距离为x.  (1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论;  (2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间

4、的函数解析式,并写出函数的定义域;  (3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由.  (图5、图6、图7的形状大小相同,图5供操作、实验用,图6和图7备用)五、(本大题只有1题,满分12分,(1)、(2)、(3)题均为4分)  27.图1图2图3  (1)解:PQ=PB                ……………………(1分)  证明如下:过点P作MN∥BC,分别交AB于点M,交CD于点N,那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,△AMP和△C

5、NP都是等腰直角三角形(如图1).  ∴ NP=NC=MB.                 ……………………(1分)  ∵ ∠BPQ=90°,∴ ∠QPN+∠BPM=90°.   而∠BPM+∠PBM=90°,∴ ∠QPN=∠PBM.   ……………………(1分)  又∵ ∠QNP=∠PMB=90°,∴ △QNP≌△PMB. ……………………(1分)  ∴ PQ=PB.  (2)解法一  由(1)△QNP≌△PMB.得NQ=MP.  ∵ AP=x,∴ AM=MP=NQ=DN=,BM=PN=CN=1-,  ∴ CQ=CD-DQ=1-2·=1-.  得S△PBC=BC

6、·BM=×1×(1-)=-x. ………………(1分)  S△PCQ=CQ·PN=×(1-)(1-)=-+x2  (1分)  S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ=x2-+1.  即 y=x2-+1(0≤x<).      ……………………(1分,1分)  解法二  作PT⊥BC,T为垂足(如图2),那么四边形PTCN为正方形.  ∴ PT=CB=PN.  又∠PNQ=∠PTB=90°,PB=PQ,∴△PBT≌△PQN.  S四边形PBCQ=S△四边形PBT+S四边形PTCQ=S四边形PTCQ+S△PQN=S正方形PTCN …(2分)      =CN2=(1-

7、)2=x2-+1  ∴ y=x2-+1(0≤x<).        ……………………(1分)(3)△PCQ可能成为等腰三角形  ①当点P与点A重合,点Q与点D重合,这时PQ=QC,△PCQ是等腰三角形,   此时x=0                     ……………………(1分)  ②当点Q在边DC的延长线上,且CP=CQ时,△PCQ是等腰三角形(如图3)                            ……………………(1分)  解法一 此时,QN=PM=,CP=-x,CN=CP=1-.  ∴CQ=QN-CN=-(1-)=-1.  当-x=-1时,得

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