传球问题的统一解法及染色问题.doc

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1、传球问题的统一解法及染色问题刘克让1.传球问题很多高中数学复习资料中常见有关传球和染色类型的问题.请看:例1甲、乙、丙三人相互传球,甲首先发球作为第一次传球,传球5次,球在甲手中的不同方法有多少种?分析此类问题解法很多，有的从传球方向分析；有的从中间持球人分析，但传球次数一多，则分类复杂，不易算对，且方法难以掌握.本人以遇难则返的思想,直接用树图求解,不但简单明快,还能找到一般的解题规律。解:由于持球人只能传球给其他2人,所以:甲(传1次)乙丙(传2次)甲丙甲乙(传3次)乙丙甲乙乙丙甲丙(传4次)甲丙甲乙

2、乙丙甲丙甲丙甲乙乙丙甲乙容易看出,若要第5次传球到甲手中,只要乙丙二人传出即可。所以,传球5次,球在甲手中的不同方法有10种。此种方法有一般性：例2,个人相互传球,首先发球作为第一次传球,传球次,球在手中的不同方法有多少种?球在甲手中的概率是多少？分析1次传球传种，其中：0（手中无球），传给其余人共：种；2次传球种，其中：种，传给其余人共：种；3次传球种，其中：种，传给其余人：种；……次传球种，其中：种，（即次传给其余人的种数）设====.用数学归纳法容易证得：定理1个人相互传球,确定某人首先发球作为第一

3、次传球,传球次,球在此人手中的不同方法有种；球在甲手中的概率.由此定理计算例1：,（种）2.传球问题与染色问题的关系仍以例1为例.若把甲、乙、丙三人看成“三种颜色”，5次传球到甲手中看成“染5个区域，相邻区域不同染色，甲选定某色”.，求染法种数.则两种提法实质是相同的.12345例3现有三种不同颜色供选择染如图5个区域，且相邻区域不同色，求不同的染法种数.分析由于1号区有三种染法，由定理1知：不同染法种数于是我们得到如下的（无心）染色定理:定理2有种不同颜色供选择，染如图个区域（把图中5改为），并且相邻区

4、域不同色，则不同染法有种.例4甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由拿球者传给其他三人中任一人，这样共传了4次，则第4次球仍回到甲的方法有多少种？回到甲的概率是多少？（21；p=）此类问题还有研究空间，欢迎有兴趣的读者积极探索。