泰勒公式以及应用毕业论文.doc

《泰勒公式以及应用毕业论文.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、泰勒公式以及应用摘要泰勒公式是微积分学屮的重要内容，它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系。利用泰勒公式可以很好的解决某些问题，使问题化繁为简。首先，本文给出了带有各种余项的泰勒公式以及证明，其次，从i元函数的微分出发，引出一元函数及二元函数的高阶微分，以微分形式给出i元函数及二元函数的泰勒公式，以及介绍在和同条件下泰勒公式的另一种形式的推广。再次，致力于研究时间标度丄二元函数的链式法则，以其在最优控制上有广泛的应用•同时，对一•元函数的泰勒公式给出一•种新的较为简单的证明方法。最后，本文举例介绍了泰勒公式在近似计算、极限运算、不等式的证明、判断函数极值、判定二元函

2、数极限存在性、求高阶导数在某些点的数值、讨论级数与广义积分的敛散性判断、关于界的估计、计算n阶行列式、判断方程根的唯一•存在性等方面的具体应用。关键词：泰勒公式；微积分；函数极限；级数敛散性目录1•绪论2.泰勒公式2.1带有各种型余项的泰勒公式2.1.1带有Lagrange型余项的泰勒公式2.1.2带有Peano型余项的泰勒公式2.1.3带有Cauchy型余项的泰勒公式2.1.4带有重积分型余项的泰勒公式及其证明2.2高阶微分与泰勒公式2.2.I二元函数的高阶微分与n阶泰勒公式2.2.2二元函数的高阶微分与n阶泰勒公式2.3泰勒公式的另一种形式2.4吋间标度上的泰勒公式及链式法则

3、2.4.1时标下的全△可微的概念的引人2.4.2泰勒公式及其证明2.4.3-7G函数的链式法则3.泰勒公式的应用3.1泰勒公式求某些未定式的极限3.2多项式的泰勒展开式的应用3.3泰勒公式在近似计算屮的应用3.4利用屮值定理和泰勒公式证明函数极限3.5泰勒公式证明不等式3.6泰勒公式在判定二元函数极限存在性屮的应用3.7泰勒公式在n阶行列式计算屮的应用3.8泰勒公式在判断级数及积分敛散性屮的应用3.9泰勒公式关于界的估计3.10判断方程根的唯一•存在性问题3.11用泰勒公式研究函数凹凸性的一-种再拓广2.泰勒公式2.1带有各种型余项的泰勒公式2.1.1带有Lagrange型余项的

4、泰勒公式（2.2拉格朗口定理证明泰勒公式（18））泰勒定理：若函数/在上存在直至n阶的连续导函数，在S"）内存在（"+1）阶导函数，则对任意给定的圮心丘“"],至少存在一点歹丘（。，方），使得/（X）=/（兀）+广（xj（x_兀）+（x-xJ+...+/計匕-兀）"+[”+f）（x_兀）""（7）证作辅助函数_f何（八'尸（'）=/（兀）_/（'）+广（?）（兀_『）+…+.（兀_'），，nG（x（-

5、・乂因尸⑴二*）=。，所以由柯西中值定理证得尸（尢0）二Gg））¥比）"（兀）_尸（0_/（呵（°G（x0）-G（x）G«）（Xi）!'其中歹曰（x0Jx）e（a,b）.（7）式同样称为泰勒公式，它的余项为2.1.2带有Peano型余项的泰勒公式定理:若函数f（X）在点兀。存在Z至n阶导数，则有/（入）=%（入）+°心)=/(勺)+广仇)(x_xJ+‘!；。)(乂_%)2+...+/$)(x_xj+o((x_xj)⑷证设Rn(x)=/(x)一Tn(x),Qn(x)=(x-x0)w,现在只要证由关系式⑶可知,/?a?（x0）=R卅（心）=・・.R』＞（兀0）=0,并易知Qn（x0）

6、=（x0）=...Qn（n~l）（x0）=0,Qn（,t）（x0）=n!.因为厂（X。）存在，所以在点兀0的某邻域〃（兀0）内/存在〃j阶导函数/（X）于是，当XEU（%）且XTAo时，允许接连使用洛必达法则n-1次，得到Rn（x）Rnx）Rn（"~］）（x）xf巾W(x)心必——=lim=…=lim——…Hm/"T（X）一（%）一严）（％）S-X。）定理所证的（4）式称为函数/•在点无）处的泰勒公式，恥⑴可⑴一"⑴称为泰勒公式的余项，形如7"旳余项称为佩亚诺型余项。所以（4）式乂称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式2.1.3带有Cauchy型余项的泰勒公式2.1.4带有重积分型余项

7、的泰勒公式及其证明定理:设函数f（x）在存在直到门阶的连续导函数，在（a,b）内存在（门+1）阶导函数，则对任意给定的x,x。e（a,b）,f（x）可表示为一个门次多项式与一个余项Rn（x）之和，即/（x）=/（x0）+广（xo）（兀一兀0）+，（"%（兀一无o）?+・+广（九一兀o）"+Rz?（x）其中Rn（x）=£...£f小（心+1））九+i…曲血证明：应用Newton-leibniz积分公式易知/（x）—/（几二『广（西旳即/（x）=/（》o+f广Ox】皿］同理有广（和=