泰勒公式的应用 毕业论文.doc

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1、R录内容摘要1关键词11.引12.泰勒公式12.1具有拉格朗口余项的泰勒公式12.2带有柯西型余项的泰勒公式22.3带有积分型余项的泰勒公式22.4带有皮亚诺型余项的泰勒公式33泰勒公式的应用33」利用泰勒公式求未定式的极限33.2利用泰勒公式证明中值问题53.3利用泰勒公式证明不等式和等式63.4利用泰勒公式判断敛散性124•结束语18致谢19参考文献20ApplicationsofTaylorformula20Abstract20Keywords211泰勒公式在数学分析屮的应用内容摘耍泰勒公式是数学分析屮一个非常重耍的内容不仅在理论上占有重耍的地位在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断

2、、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重耍的应用。本文着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面进行论述。关键词泰勒公式拉格朗口余项未定式级数皮亚诺余项1•引言泰勒公式在数学分析中是一个非常重耍的内容微分学理论中最一般的情形是泰勒公式泰勒公式建立了函数的增量和口变量增量与一阶及高阶导数Z间的关系泰勒公式能够把一些复杂的函数近似地表示为较为简单的多项式函数这种把复杂变简单的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力T具。所以我们可以使用泰勒公式来很容易的解决一些问题如求确定无穷小的阶极限证明等式和不等式判断函数的凹凸性收敛性中值判断问

3、题等。本文对泰勒公式在等式与不等式的证明极限中值问题以及敛散性判断这四个方面的具体应用方法做了详细论述。2.泰勒公式2」具有拉格朗日余项的泰勒公式如果函数xf在点Ox的某邻域内具有nl阶导数则对该邻域内2异于Ox的任意点x在Ox和xZ间至少一个£使nnxxnxfxxxfxxxfxfxf2002000(X)1011nnxxnfZ间与介TxxO半0x0时上式称为麦克劳林公式。2.2带有柯西型余项的泰勒公式如果函数確点Ox的某邻域OxU内具有nl阶导数令xOxU则对该邻域内异于Ox的任意点x有xRxxnxfxxxfxfxfnnnOOOOO1000lnlxlnnnxxxxfnxR10。当0x0时

4、乂有xRnlOl11lnnnxxfn2.3带有积分型余项的泰勒公式如果函数f在点()x的某邻域OxU内具有nl阶导数令x()xU则对该邻域内异丁Px的任意点x在Ox和xZ间至少一个t使得:dttxtfnxxnxfxxxfxfxfnxxnnnO1000001其中dttxtfnnxxnO11就是泰勒公式的积分型余项。32.4带有皮亚诺型余项的泰勒公式如果函数xf在点Ox的某邻域内具有n阶导数则对此邻域内的点x有：2000002xxxfxxxfxfxfnOOOOOxxxxxxnxfnnn3泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求未定式的极限未定式是指呈1000000等形式的极限一般是用洛比达法则求解

5、当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话必须进行多次洛比达法则或是分子分母都是带根号项的话越微分会越复杂此时若使用泰勒公式解决会更简单明了。例1求极限.sincosl121im22202xexxxIxx分析此式分子含有根号项用洛比达法则也可以求解不过比较繁琐。若使用泰勒公式可以将问题大大简化。解因81812111211244442222xoxxoxxxxx231211cos222222xoxxoxxexx乂0sin22xxx4所以.12123812381lim222440xxoxxoxlx用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代來计算极限的方法。我们知道当Ox时xxxxtan

6、sin^o这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合问题乂能进一步简化。例2求极限limx211nnne解21121nllnnnnnenee等值变形121nllnnnene等值变形2111212nnonnne泰勒公式应用1122nonne5化简121oe阶的估计212111llimlimnnonxnneee幕指式待定型的极限问题首先利用等价变形lnfxfxe化为指数式。此题利用了泰勒公式的近式多项式作用和分式作用化简再利用无穷小阶的估计所以1llimllimlimOlnnnonononn从Hlj得到极限。3.2利用泰勒公式证

7、明屮值问题3.2.1证明屮值公式若欲证的结论是至少存在一点cab使得关Tabfafbcfcnfcfc代数式的证明。可以考虑使用辅助函数法然后验证辅助函数满足罗尔定理条件由定理的结论即得命题的证明下面通过例题来说明一下。例3设函数fx在11上具有三阶连续导数且10f6llfOOfffi明在11内至少存在一点使得3f证22100023ffxffxfx在0与xZ间分别令lxlx将所得的两个式子想减得121261001ff由fx的连续性知依