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1、斯托克斯(Stokes)公式环量与旋度第七节第十章一、斯托克斯公式二、环量与旋度三、空间曲线积分与路径无关的条件★一、斯托克斯公式有向曲面的正向边界曲线：的正向与的侧符合右手法则，如图.是有向曲面的正向边界曲线右手法则设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面,如果函数一阶连续偏导数,则或定理10.8斯托克斯公式将斯托克斯公式分为三式首先证明第一式.证明思路:第二类曲面积分第一类曲面积分二重积分第二类曲线积分第二类曲面积分证方向为上侧与平行z轴的直线只交于一点,注同理可证其余二式:三式相加可得(2)曲面与平行z轴的
2、直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交在每一部分上应用斯托克由于沿辅助曲线方向相所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.于一点的几部分,然后相加,斯公式,反的两个曲线积分相加刚好抵消,注表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.1º斯托克斯公式的实质:2º斯托克斯公式便于记忆的形式:或coscoscosdS3º斯托克斯公式是格林公式的推广斯托克斯公式格林公式特殊情形是xOy面上的有向闭区域时xyzO=LxyzO=LD这正是格林公式.4°何时采用斯托克斯公式？的积分曲线的参
3、数方程不易写出，或用直接法计算较繁时，可考虑用斯托克斯公式.在斯托克斯公式中，是以为边界的任意分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含的一个空间区域内具有一阶连续的偏导数即可).5º如何选取？通常，取为平面或球面等法向量的方向余弦易求的曲面.利用斯托克斯公式计算例1其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个边界,它的正方向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.记三角形域为,取上侧,解利用轮换对称性利用斯托克斯公式计算曲线积分例2解为柱面与平面y=z的交线从z轴正向看为顺时针,计算解(方法1)则其法
4、线方向余弦例3设为平面z=y上被所围椭圆域且取下侧,(方法2)将：参数化：二、环量与旋度定义向量场称为注改变Γ的环行方向时,环量要变号.1.环量为定义当函数一阶连续偏导数时,称向量2.旋度由哈密尔顿算符的定义注3º利用旋度,可将斯托克斯公式写为4º斯托克斯公式的物理解释:等于向量1º2º设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M的线速度为5º旋度的力学意义线速度场中任一点处的旋度等于刚体旋转角速度的2倍，这就是“旋度”一词的由来.除去一个常数因子2外，恰好等于物体旋转的角速度..M
5、根据斯托克斯公式和积分中值定理.M称环量对面积的变化率向量场的旋度是一个向量,此向量的方向是使方向旋量取最大值的方向,此方向的模是该点处最大方向旋量的值.三、空间曲线积分与路径无关的条件连续偏导数定理10.9设空间闭区域G是一个一维单连通域,要条件是即★G内的任一闭曲线总可张一片完全含于G内的曲面注当成立时或用定积分表示为例4与路径无关,并求函数解令验证曲线积分积分与路径无关,因此选择特殊路径例5求电场强度的旋度.解(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.保守场：而与从A到B的路径无关.内容小结1.斯
6、托克斯公式4.向量即本章小结梯度:散度:旋度:则1.场论中的三个重要概念场论中的三个重要定理（1）格林公式（2）斯托克斯公式（3）高斯公式本章知识结构图备用题例1-1相交的圆弧连接而成的闭曲线.解Γ在球面上，所以从x轴正向看Γ为逆时针方向.Σ取上侧例2-1解法线方向余弦由对称性例4-1解
