露天采矿的最优方案.doc

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1、理工大学暑期数学建模强化训练专题五露天采矿的最优方案学员：曹阳许佳利倪迪杭学院：通信工程学院时间：2010.08.20露天采矿的最优方案摘要公司在一块一定面积的方形土地上露天采矿，需要建立一个模型以帮助决定采矿方案，使得公司获得最大的经济效益。本文针对采矿方案的优化问题，建立两个不同的数学模型，均找到了最优的采矿方案，为公司的决策提供切实有效的建议。模型1，运用“转移矩阵”，将两元（收入和费用）问题转化为一元（盈亏值）问题，大大简化了分析过程；模型2，建立一个的三维矩阵，将三个不同层长方形块的值的矩阵用同一个扩充矩阵来表示，结合规划，考虑各层长方形块

2、之间的联系，建立了单目标线性规划模型，并通过LINGO软件的求解，得到了最优的采矿方案。通过模型1和模型2的求解，均找到了最优的采矿方案，使得收入与费用（即纯收入）之差最大，其值为1.75万元。具体的最优采矿方案见正文。关键词:转移矩阵，单目标线性规划，规划，扩充矩阵一、问题的提出1、背景某公司获准在一块200mx200m的方形土地上露天采矿。因为土石滑坡，控坑的坑边坡度不能陡于45º。公司已得到不同位置不同深度处的矿砂所含纯金属的百分数的估计值。考虑到坡度角对挖坑工作所加限制，公司决定将问题作为长方形块的挖取问题加以处理。2、问题每个长方形水平尺寸

3、为50mx50m，铅直尺寸为25m。若在一个深度上挖了四块，则在下一层还可以挖一块；俯视这５块的水平位置关系，将是如图１所示的情形（实线为上一层块，虚线为下一层块）。（图１）这样一来，所能挖取的块数，第一层最多为16块，第二层最多为９块，第三层最多４块，第四层最多１块。不能再往深处挖取。所有这些可能挖取的块，按已得到的估计值，将各块含纯金属的百分数作为块的值，这个块的值如下：1.51.51.50.751.52.01.50.751.01.00.750.50.750.750.50.25　　　第一层（地表层）　　　　　　　第二层（深25m）4.04.02.

4、03.03.01.02.02.00.512.06.05.04.06.0第三层（深50m）　　　　　　　　第四层（深75m）挖取费用随深度增加。第一层中各块的挖取费用为0.3万元，第二层为0.6万元，第三层为0.8万元，第四层为1.0万元。挖取一块的收入同该块的值成正比；一个值为１的块可得收入为0.2万元。试建立一个模型以帮助决定挖取那些块，使得收入与费用之差为最大。二、问题的分析题目的要求是通过建立数学模型制定最优挖掘方案，使得收入与费用之差为最大，即纯收入最大，这是一个典型的优化模型的问题。根据题目条件，只有在一个深度上挖了四块，才能在下一层再挖一

5、块。最多的挖掘块数为第一层最多为16块，第二层最多为９块，第三层最多４块，第四层最多１块。可以逆向思维，若挖取第四层的那块长方形块，则必须挖取所有的长方形块。而若该公司采用这种挖取方案，则可以根据题目中给出的各块长方形块的价值和挖取费用，计算出其总收入为（万元），其总挖取费用为（万元），两者之差为万元，说明若采用这种挖取方案，该公司将损失万元。按照常理考虑，公司采矿的目的是为了盈利，该公司不会采用这种挖取方案。所以，第四层的那块长方形块不挖取。因此，我们在考虑建立模型的时候，只需研究前三层的长方形块。三、模型假设1、该公司采矿的目的是为了盈利；2、按

6、照公司采用的土块划分方法，不会导致土石滑坡。四、模型的建立及求解1、符号说明各长方形块的价值矩阵转移矩阵三维扩充矩阵三维矩阵采矿的收入采矿的费用采矿的盈利2、模型建立2.1模型1：“转移矩阵”模型2.1.1模型的分析问题的分析中已经分析说明无论该公司采用何种方案采矿，都不会挖取第四层的那块长方形块，因此在研究最优采矿方案中只考虑前三层的长方形块。根据题目条件，挖取深层次的长方形块的前提是必须先挖取其前一层次相对应的长方形块。例如，若挖取第二层的第一块长方形块，则必须先挖取第一层的左上角的四块长方形块。因为深层次的长方形块具有是否挖取前一层次相对应的长

7、方形块的权力，所以称深层的长方形块为“高层长方形块”。逆向思考，先确定高层长方形块的挖取是否能盈利，而后再确定低层长方形块是否挖取。2.1.2模型的建立求解首先给各层的长方形块编号，其示意图分别如图2、图3和图4所示。12345678910111213141516图2第一层123456789图3第二层1234图4第三层根据各块含纯金属的百分数作为块的值建立其价值矩阵为，分别代表第一层、第二层和第三层的价值矩阵。根据题中给出的数据，得到：；；.公司纯收入大于0时为盈利，小于0时为亏损。下面单独考虑每一个长方形块的盈利和亏损情况。根据题中条件，第一层中各

8、块的挖取费用为0.3万元，第二层为0.6万元，第三层为0.8万元；而一个价值挖取一块的收入同该块的值成正比，