空间点的坐标变换及在MATHCAD中的实现方法.pdf

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1、空间点的坐标变换及在MATHCAD中的实现方法1.计算原理图一如图所示，求空间任一点P3绕任一轴（以线段P1P2表示）转动θ角所得P点的坐标。设点（P1,P2,P3）的坐标：由高等数学知识可知，通过P3且垂直于直线（P1,P2）的平面的方程为：（1）设该平面和直线（P1,P2）的交点为P4。直线（P1,P2）的参数方程：（2）由联立方程组（1）（2）可解出：代入（2）即可得到交点P4的坐标。图二如图二所示，以P4为原点的局部坐标系（X0,Y0,Z0）中：设向量r5的齐次坐标为：单位向量：向量：r2=P3-P4根据罗德里格旋转公式：设V是一个三维空间向量，K是旋转轴的单位向量，则V在右手螺旋定义

2、下绕K轴旋转角度θ得到的向量可以由以下公式定义：VV⋅cos(θ)+(K×V)⋅sin(θ)+K⋅(K⋅V)⋅(1−cos(θ))rotr2ux设：KvVr2ywr2z代入上述公式可得：u2+(1−u2)⋅cos(θ)u⋅v⋅(1−cos(θ))−w⋅sin(θ)u⋅w⋅(1−cos(θ))+v⋅sin(θ)r2xVu⋅v⋅(1−cos(θ))+w⋅sin(θ)v2+(1−v2)⋅cos(θ)u⋅w⋅(1−cos(θ))−u⋅sin(θ)⋅r2yrotu⋅w⋅(1−cos(θ))−v⋅sin(θ)u⋅w⋅(1−cos(

3、θ))+u⋅sin(θ)w2+(1−w2)⋅cos(θ)r2z则P3在局部坐标系（X0,Y0,Z0）中绕直线（P1,P2）的转轴公式以齐次坐标表示如下：在整体坐标系中向量:→r6OP至此即求出P点坐标。如考虑平移及转动叠加，则公式如下：u2+(1−u2)⋅cos(θ)u⋅v⋅(1−cos(θ))−w⋅sin(θ)u⋅w⋅(1−cos(θ))+v⋅sin(θ)pxr20u⋅v⋅(1−cos(θ))+w⋅sin(θ)v2+(1−v2)⋅cos(θ)u⋅w⋅(1−cos(θ))−u⋅sin(θ)pyr21r5⋅u⋅w⋅(1−cos(θ))−v⋅sin(

4、θ)u⋅w⋅(1−cos(θ))+u⋅sin(θ)w2+(1−w2)⋅cos(θ)pzr2200011其中（PxPyPz）表证了平移量。2.MATHCAD实现过程MATHCAD是一款优秀的数学工具软件，合理运用将能节省研发人员、工程设计人员、在校师生等大量的计算时间，如下是解题过程：①解析运算②定义函数③使用函数由此可见，MATHCAD是一款所见即所得的数学软件，其解题过程和人们惯用的手写计算书非常类似，会省去很多繁琐的数学推导和数值计算，对解决实际的问题带来不少便利。附：MATHCAD中旋转曲面生成示意图