-5函数展开成幂级数.ppt

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1、第五节函数展开成幂级数第十一章两类问题：求和展开第五节函数展开成幂级数第十一章一、函数的幂级数展开式——泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数的充分必要条件三、函数展开成幂级数的方法一、函数的幂级数展开式——泰勒(Taylor)级数定义问题:(1)如果能展开,an是什么?(2)展开式是否唯一?(3)在什么条件下才能展开成幂级数?1.函数展开成幂级数2.an的确定、展开式的唯一性若在邻域U(x0,R)内任意阶可导的函数f(x)能展成幂级数:定理11.13则其系数且展开式是唯一的.证则系数是唯一的,麦克劳林级数

2、(x0=0):定义11.3泰勒系数3.泰勒级数(2)收敛域？(3)在收敛域I内，级数是否一定收敛到f(x)?4.泰勒级数基本问题即答：不一定.反例：由此可见，在x=0点任意可导,处处不收敛于设f(x)在区间I上具有各阶导数,二、函数展开成幂级数的充分必要条件则f(x)在I上能展开成泰勒级数，即定理11.14证必要性泰勒多项式泰勒级数充分性三、函数展开成幂级数的方法1.直接展开法1º求f(n)(x),f(n)(0),n=0,1,2,···;2º写出幂级数3º判断展开方法直接展开法—用泰勒公式间接展开法—用已有展开

3、式并求收敛半径R;步骤：例1将展开成x的幂级数.解收敛半径即余项满足3º=?例2将展开成x的幂级数.解收敛半径余项满足3°例3将展开成x的幂级数(m:任意常数).解2°麦克劳林级数3°设和函数为{}二项展开式:注1°2°m为正整数时,得二项式定理:时二项展开式分别为3°2.间接展开法例4将展开成x的幂级数.解逐项求导:根据展开式的唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例5将展开成x的幂级数.解连续,因右端幂级数在x＝1收敛,故展开式对x＝1也成立,收敛域为注

4、取x=1得,例6将展成的幂级数.解注思路：变量代回即可.例7-1将展成x－1的幂级数.解例8解事实上，例9解拆配化一展范围内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—用泰勒公式;(2)间接展开法—用幂级数性质及已有展开式.2.常用函数的幂级数展开式思考题1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示后者必需证明前者无此要求.例5-1将在x=0处展为幂级数.解故备用题