数学大师启示录_伽罗瓦.pdf

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1、伽罗瓦的概念……后来在整个数学发展上产生了愈来愈大的深刻的影响。——海尔曼·外尔湖畔枪声初夏的黎明，野外的空气带着凉意，显得特别清新。随着东方天际鱼肚白的伸展、大地渐渐苏醒过来。一声，两声，鸟儿动听的歌唱，一会儿成了叽叽喳喳的喧闹。树林的寂静打破了；林子也慢慢现出它的绿色。湖面上升起一阵薄雾，烘托着远处袅袅炊烟。捉摸不定的玫瑰色的朝霞，难以察觉的慢悠悠的晨风，孕育着更热烈更紧张的生命乐曲。砰!从巴黎郊区格拉塞尔湖畔传来一声枪响，惊起了一群飞鸟。并没有看见鸟儿跌落，一个年轻人却倒下了。他是谁?他就是我们故事的主人公，数学家们誉为群论

2、的“真正先锋”，“近世代数的创始者”，引起后人许多赞叹与感慨的数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦。这位19世纪30年代初巴黎有名的共和主义分子，在一次可悲的决斗中被打倒了。从莱茵堡到路易皇家学校1811年10月26日，伽罗瓦诞生在距巴黎18公里的莱茵堡。人们在莱茵堡看到的小伽罗瓦并不是神童，而是个对事认真得近乎严肃并且重感情的孩子。父母双方家族都没有数学才能的记录，共和主义影响倒是有过。父亲尼可拉·卡贝里·伽罗瓦，是位向往18世纪大革命、憎恶专制的自由主义知识分子。他负责一所有60多名寄宿生的学校。1815年3月到6月拿破仑卷土重来的“百日

3、”中，他被拥护共和的居民推选为镇长。拿破仑彻底垮台以后，他保留了镇长职务以应付复辟的波旁王朝，继续支持老百姓反对天主教僧侣代表的封建势力。’12岁以前小伽罗瓦没有上学。妈妈玛丽·阿德莱达·德芒特就是老师。她从做法官的她的父亲那里接受了法学世家严格的古典教育。她把这种古典教育结合英勇的男性斯多葛精神来教育小伽罗瓦。她不守旧，爱自由。在某些人眼里，她显得任性，固执，甚至有点古怪。1823年10月，12岁的伽罗瓦考入巴黎路易皇家学校，插班读四年级。小伽罗瓦的古典语文和算术都训练有素，成绩比那些大孩子还好。刚进校的时候他有点怯生。没想到后

4、来连续三年被评为优等生，希腊语作文大赛中他还获得好评。但是伽罗瓦对这些奖励的兴趣愈来愈淡薄。他渐渐看出来，学校领导骨子里要把学生培养成波旁王朝的顺民。对不大听话的同学，你看他们惩罚多凶狠：校长拉波利一次就开除了40名学生。这些孩子不过是没有遵照他的指示到教堂去唱赞美诗罢了。目睹这些同学遭到专制的迫害，伽罗瓦幼小的心灵感到难以承受的压抑。从前，“专制”对他纯粹是个抽象的字眼；现在他看到，这是一种可憎的现实。他不再信服宣扬温顺和谦恭的说教。冗长的修辞学练习使他厌烦，拉丁语和希腊语他觉得是沉重的负担。他的学习成绩明显下降。操行评语由“很

5、有礼貌，十分天真，有许多优点”，“才干杰出”，“举止不凡”，变为“脾气古怪”，“为人乖僻”，“过分饶舌”。拉波利看了小伽罗瓦的材料，认为他的判断力不成熟，要他重修二年级。得悉校长的决定，伽罗瓦的恼火可想而知。不过“塞翁失马，焉知非福”。1827年初，伽罗瓦利用重修二年级的机会，到初等数学班听数学的补充课程。这是为爱好精密科学的学生开设的。小伽罗瓦在数学学习中找到了温暖和补偿。迷上了数学在代数课上，伽罗瓦学到二次方程求根公式，非常兴奋，因为这是普遍有用的。他十分欣喜地读到勒让德的《几何基础》。这本标准的初等几何教程以后人更易接受的形

6、式重现了欧几里得《原本》，从1794年到1881年共发行了15版。它向伽罗瓦晶莹剔透地展示了欧几里得几何结构，表现了数学推理的严密美妙。伽罗瓦一连好几天都沉浸在这本书的阅读和思考中。到底是大师的著作，不同凡响。法兰西的“三L”，祖国的骄傲啊!几何学习进一步培养了伽罗瓦归纳、抽象的能力和联想、类比的习惯。在初等数学班他急切去学习三次方程和四次方程的解法。他很快领悟了意大利人的诀窍而提高了自信心。他明白这些解法有些代数变换的技巧，但是并没有高不可攀之处。他对人们为了这些公式竞花了上千年的时间感到费解。他决定试着去寻求前人还没有找到的五

7、次方程求根公式。一连几天，伽罗瓦紧张地思索，认真地演算。他终于得出了结果。繁是繁些，五次方程的根式解不是求出来了嘛!但是，经过短暂的兴奋以后他冷静下来，很快发现了自己的错误。这就像莱布尼兹的好友奇尔恩豪斯一样，自以为找到了五次方程一般解法，实际上在推理中发生了差误。更相似的是阿贝尔，他在做学生时一度也认为求得了五次方程的一般解，其实也是搞错了。伽罗瓦现在看清楚，这个问题确实很难。但是他没有泄气，决心研究下去。这时候他已经很难接受学校的讲课方式，那些教学内容对他的研究也没有多大帮助。伽罗瓦决定直接向大师们请教，着迷地读起欧拉，拉格朗

8、日、高斯等人的代数和分析的著作。其他的一切他都不在意了。一位教师形容伽罗瓦说：“他被数学的鬼魅迷住了心窍。”他进入了真正的数学研究境界。拉格朗日的方程论著作，使伽罗瓦受到很大启发。首先，拉格朗日通过对低次方程统一解法的分析指出，方程的求解和根的置换