《伽罗瓦与群论》课件

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1、1伽罗瓦与群论2了解一下3伽罗瓦4伽罗瓦的成就5群的概念6§1,1对称性的意义在非相对论量子力学，经常使用外场的概念，外场存在使系统对称性降为外场的几何对称性，全同粒子的置换对称性对多体问题是重要的。因此，这两种对称性对于原子，原子核，分子和固体系统的理论，具有重要的意义。1.2，对称变换在量子力学中，一个系统的状态用波函数ψ（r）来描述，现考查在空间变换和粒子的置换变换下波函数的导出形式，以及对称变换的条件。用f表示坐标空间的一个变化，它使r变成记为f可以是平移a，绕z轴转θ角，或对原点的反演，具体表示为：平移7§1,1对称性的意义绕z轴

2、转动和反演当坐标空间发生变化时，系统的状态波函数ψ也会发生变化，变为，在处的值即为ψ在r处的值，可写为8§1,1对称性的意义若将fr记为r，r就变为，上式可以写为（1.2）波函数ψ（r）变为的变换，也可以用一个算符来表示，记为也可写为，这式可以看成算符的定义。当f为空间反演时，便是宇称算符，，当f是空间平移时，是平移算符，从（1.2）式出发，利用泰勒展开可以推出平移算符的显式为其中是动量算符。9§1,1对称性的意义当f为空间转动时，取转动矢量为，它的方向为转轴方向，θ是转角的大小，为转动算符。其显式为，其中,为角动量算符。对给定系统，变换是

3、否对称变换要由系统的运动方程在作用下是否改变来决定，即要看ψ和ψ是否满足同一方程，设ψ满足Schrodinger方程，（1.3）是系统的Hamilton算符。10§1,1对称性的意义假定是一个与t无关的算符，将其作用在方程（1.3）的两边，得（1.4）从上两式看出，ψ和ψ满足同一方程要求（1.5）上式表明，一个变换是对称变换的必要而充分的条件是这变换算符与系统的Hamilton算符对易。在量子力学中，全同粒子是不可区分的，当两个粒子交换时，系统的Hamilton量不变，因此，在任何情况下，全同粒子的置换变换是对称变换。11§1,1对称性的意

4、义1.3，对称性与守恒定律在物理学的研究中，守恒定律具有非常重要的作用。人们经常观测到某些物理量在变化过程中总是不变的，这些量就是守恒量。守恒定律与对称性之间有密切关系。关于守恒定律与对称性之间的联系，最早由Jacobi在1842年所注意，他用拉氏函数描述经典力学系统时，从拉氏函数在平移下不变，导出线动量守恒。在转动运动下不变，给出角动量守恒。1887年schatz从拉氏函数的时间平移不变，得到能量守恒。现在人们都习惯用Hamilton量而不是用拉氏函数讨论对称性与守恒定律的联系，因它在量子力学中更为方便。不管在经典力学还是量子力学中，线动

5、量，角动量和能量的守恒都来自Hamilton量在平移、转动和时间平移下的对称性，更暜遍地说，物理系统的任一个守恒定律都对应哈密顿量在相应变换群下是不变的。反过来不能说一种对称性一定存在一个守恒定律，例如时间反演对称性就没有相应的守恒定律。12§1,1对称性的意义Wigner指出，在量子力学中，对称变换都对应一个幺正算符或反幺正算符，对幺正算符则伴随守恒律，若在反幺正变换下就没有明确的守恒律，如时间反演，但会带来其它的限制。如果描述粒子相互作用的哈密顿量，在一个幺正变换下是不变的，则我们能看到系统的散射矩阵在这变换下也不变，即反应截面不变。例

6、如研究两个极化电子束的散射，当极化电子束平行与反平行于束方向时，相互作用哈密顿量不变则马上可以推出这两种反应截面相同。当然这结果可以利用量子场论计算给出。在有些情况下，相互作用性质不清，真实的哈密顿量写不出来，但利用对称性也能预言某些结果，例如，质子质子的散射，核力的细节不清，相互作用H写不出来，但利用对称性仍然能预言极化质子平行与反平行于束方向极化，其散射微分截面相等。对称性的讨论还能给出某些跃迁过程的选择定则，这些选择定则使我们能预言反应是否能发生。例如，在任何反应中，总电荷守恒，即反应中有以下选择定则。13§1.2,对称性与群一个几何

7、图形或物理系统的对称性可以用它的对称变换的集合来描述，这对称变换集合具有明显的数学性质：1)任何两个对称变换接连发生（相乘）所得变换仍是一个对称变换；2）当几个对称变换相继连续发生时，在不改变次序的条件下，可以将其随意组合（结合律）；3）恒等变换是对称变换（单位元素）;4)对称变换的逆变换也是对称变换。具有以上性质的集合，数学中称为群。因此，对称变换的性质可以利用群来研究。14§1.2,对称性与群例如，绕定点的空间转动，它有以下性质;(1)一个物体连续进行两次转动，一定相当从开始到末了绕某轴的一次转动；(2)如果连续完成三次转动，它可以先完

8、成前一次转动然后完成一个等于后两次的转动，也可以先完成等于前两次转动再完成后一次转动，即转动变换满足结合律；(3)转动角度为零为恒等变换，相当单位元素；(4)如果绕某轴转动θ角，