圆中常见的辅助线的作法分类大全.doc

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1、1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。例：如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M，求证：PM•PN=2PO2.分析：要证明PM•PN=2PO2，即证

2、明PM•PC=PO2，过O点作OC⊥PN于C，根据垂经定理NC=PC，只需证明PM•PC=PO2，要证明PM•PC=PO2只需证明Rt△POC∽Rt△PMO.证明:过圆心O作OC⊥PN于C，∴PC=PN∵PO⊥AB,OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴即∴PO2=PM•PC.∴PO2=PM•PN，∴PM•PN=2PO2.【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，

3、那么OP的长的取值范围是_________．【例3】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.2． 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。例如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．（1）求证：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．分析：要证BA·BM=BC·BN，需证△ACB∽△NMB，而∠C=90°，所以需要△NM

4、B中有个直角，而BN是圆O的直径，所以连结MN可得∠BMN=90°。MNOCA（1）证明：连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB∴△ACB∽△NMB∴∴AB·BM=BC·BN（2）解：连结OM，则∠OMC=90°∵N为OC中点B∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6【例4】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=3． 遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例5】如图，AB

5、、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是5． 遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD． 6． 遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的

6、直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时,往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.1．无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.例7．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=90°.求证：DC是⊙O的切线.分析：DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只

7、需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需证明△DEO≌△DAO证明：作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.又∵∠DOC=90°.∴FO=FD∴∠1=∠3.∵AD⊥AB，BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF为梯形的中位线.∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴DO是∠ADE的角平分线.∵OA⊥DA，OE⊥DC，∴OA=OE=圆的半径.∴DC是⊙O的切线.2．有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂

8、直.例8．已知：如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线.分析：D在⊙O上，有点连圆心，连结DO，证明DO⊥DC即可.证明：连结DO，∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO∴△DOC≌△