双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明.pdf

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1、双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明（一）双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长22xy证法一（坐标法）：设双曲线1(a0,b0)焦点为F(c,0)，22abb一条渐近线为l:yx即bxay0，a

2、bca0

3、bcF(c,0)到l的距离为db.a2b2c证法二（几何法）：过实轴端点A作实轴垂线AD交渐近线于点D，b22则DAab，又ODabcOF，a所以F(c,0)到l的距离FHDAb。（等腰三角形两腰上的高相等）（二）双曲线中，PT平分焦点△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端

4、点.证明：延长F1H到M，交PF2于M，则PMPF，1又

5、PF

6、

7、PF

8、2a，∴

9、FM

10、2a122又H、O为MF1、F1F2中点，1∴OHFM

11、OH

12、a22∴H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.（三）设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2的内切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.证明：设AA切X轴于点A'，与PF切于M，PF2切于N121∵

13、PF

14、

15、PF

16、2a

17、PM

18、

19、MF

20、

21、PN

22、

23、NF

24、2a1212∵

25、PM

26、=

27、PN

28、,

29、MF1

30、,

31、NF2

32、=

33、A'F

34、2∴

35、FA'

36、

37、A'F

38、2a12又

39、FA'

40、

41、A'F

42、2c1

43、2∴

44、A'F

45、ca

46、AF

47、，∴A'与A重合.2222注：可知，圆心在直线xa或直线xa上.1（四）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1，圆心为O1；以MF1为直径的圆的半径为r2，圆心为O2，由双曲线定义知

48、MF

49、

50、MF

51、

52、AB

53、12∴

54、OO

55、1

56、FM

57、1(

58、MF

59、

60、AB

61、)ra，112122∴圆O1与圆O外切又

62、MF

63、

64、AB

65、

66、MF

67、12∴

68、OO

69、1

70、FM

71、1(

72、MF

73、

74、AB

75、)ra，221222∴圆O2与圆O内切22xy（五）双曲线1(a0,b0)

76、的两个顶点为A(a,0),A(a,0)，2212ab与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22xy1.22ab证明：设交点S(x,y),P(m,n),P(m,n)0012∵KK，KK，P1A1A1SP2A2P2Sny022maxannyyny0000∴2222nymamaxaxaamxa0000maxa0222222mnnmnb又11，2222222abbaama222222ybxyxy000∴1即12222222xaaabab022xy（六）若P(x

77、,y)在双曲线1(a0,b0)上，则过P的双000220abxxyy00曲线的切线方程是1.22ab22x2yyxb0证明：求导可得：0y'，222abya02xbxxyy000切线方程yy(xx)102022yaab0222xy（七）若P(x,y)在双曲线1(a0,b0)外，则过P0作00022ab双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是xxyy001.22abxxyy11证明：设P(x,y),P(x,y)，则过PP切线分别为l:1，11122212122abxxyy22l:1222abxxyyxxyy1

78、0102020∵P在l、l上∴1，10122222ababxxyy00∴过PP方程11222ab22xy（八）AB是双曲线1(a0,b0)的不平行于对称轴且不22ab2b过原点的弦，M为AB的中点，则kk.OMAB2axxyyABAB证明：设A(x,y),B(x,y)，则M()，AABB2222yyyyyyABABABKKOMAB22xxxxxxABABAB22222222xyxyxxyyAABBAbAB又，222222ababab2b∴KKOMAB2a22xy（九）若P(x,y)在双曲线1(a0,b0)内，则过

79、P0的00022ab22xyxxyy00弦中点的轨迹方程是.2222abab证明：设弦与双曲线交于P(x,y),P(x,y)，中点S(m,n)111222222222xyxy(xx)bmbny1122120KKa2b2a2b2P1P2(yy)a2na2POSmx12022222222mnx0my0ymbmbxnanay，002222abab22xyxxyy00即。2222abab322xy（十）过双曲线