椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明

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1、椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明（一）椭圆中，PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.证明：延长F2H至M，交PF1于M　∵PT平分∠MPF2　，又F2H⊥PT，∴又，∴.∴H轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点.（二）椭圆中，椭圆焦点三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明：如图，设以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1，圆心为O1，　由椭圆定义知　∴　∴⊙O、⊙O1相内切　（三）设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的

2、直线切于A2（或A1）.证明：设旁切圆切轴于，切于M，F1P于N，则　，，　，∴∴与A2重合.（四）椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，7与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时，A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.证明：设交点，，∵　，∴　又∴，即轨迹方程为（五）若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.证明：对求导可得：　∴，∴切线方程为即，即，∴（六）若在椭圆外，则过P0作椭圆的两条切线，切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.证明：设，，则过点切线分别为∵在上　∴，7∴过P1，P2方程（七）AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则.证明：设　则又

3、　∴（八）若在椭圆内，则被P0所平分的中点弦的方程是.证法1：由上题的结论得：，∴弦AB方程为若在椭圆内，则过P0的弦中点的轨迹方程是.证法2：设弦交椭圆于，中点.∴　即.（九）过椭圆(a＞0,b＞0)上任一点7任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.证明：设两直线与椭圆交于点.由题意得①＝②∴，展开③－④得：（定值）（十）椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为；。证明：设，，则.由余弦定理，.（十一）若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,，7则.证明

4、：设，，，　①又　②由①、②得：（十二）椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.分析：该问题等价于在椭圆上找两点，过这两点直线，斜率为，其中垂线为　则。证明：设方程为　即，中点为得　　　　代入，　又△＞0，∴注：还可以用点差法.（十三）已知椭圆（a>b>0）和（），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=

5、CD│.证明：设直线方程为,7视作的特殊情况.弦中点坐标　与无关.而　∴与无关.∴线段中点重合.（十四）已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.证明：设A为B为∴（十五）已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点△，

6、则椭圆的离心率。证明：由正弦定理得：7由等比定理得：而，∴。（十六）已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点△中则证明：设则在中，由余弦定理得：命题得证。7