新编材料力学 教学课件 作者 张少实 主编第3章第3章.ppt

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1、第3章应变状态分析3-1应变（strain）的概念线应变与切应变一般情况下，受力构件内各个点都受应力作用，各个点处均要发生变形。构件各点或各部分的变形累积成构件整体变形。若要研究构件内某一点a的变形，可围绕该点取一单元体如下图所示。在应力作用下，单元体棱边的长度可能发生改变。例如，棱边ae由Dx伸长到Dx+Du。点a在x方向的平均线应变点a在x方向的线应变（或正应变）第3章应变状态分析3-1应变（strain）概念线应变与切应变点a在x方向的线应变或称为正应变。它描述了该点处在x这个线度方向变形的程度。同理，、分别表示点a沿y、z方向的线应变。单元体除发生棱边长度改变

2、的变形外，还可能发生角度的改变，即发生角变形。例如，下图所示，变形前棱边ae和af两微小线段的夹角为p/2，变形后夹角减少了a+b。称为点a在平面内的切应变或角应变。同理，用分别表示y-z平面内和x-z平面内的切应变。第3章应变状态分析3-1应变（strain）概念线应变与切应变规定以伸长的线应变为正，缩短的为负；使夹角p/2减小时的切应变为正，反之为负。综上所述，通常情况下，受力构件内某一点即有线应变，又有切应变等六个应变分量。线应变和切应变都没有量纲，切应变用弧度表示。今后应变的单位用微应变m表示，一个微应变等于10-6。第3章应变状态分析3-2应变与位移的关系几

3、何方程首先分析在一个平面内（例如，在平行x-y坐标面内），过点a所取的单元体aBCD的变形。根据变形固体的连续性假设，位移分量u和v都应是x和y的连续函数。与点a相比，点C的y坐标不变，但x坐标有一增量Dx，所以点C的位移分量应为同理，点B的位移分量应为第3章应变状态分析3-2应变与位移的关系几何方程其中，和是函数u和v因x有一增量Dx而引起的相应增量。在小变形情况下，位移v的增量项只引起线段的轻微转动，并不改变其长度。于是，可以认为的长度就是第3章应变状态分析3-2应变与位移的关系几何方程同理可得到a点在y方向的线应变变形后转过了a角。由于a很小，则小变形情况下，与

4、1相比甚小可以忽略，于是同理第3章应变状态分析3-2应变与位移的关系几何方程按着上述的分析方法，再考虑过点a的单元体，分别在与y-z、x-z两坐标面平行的面的变形。综合所得结果，即上述六个方程，称为几何方程第3章应变状态分析3-3应变协调条件相容方程由几何方程知，当位移u、v、w确定后，经微分运算就能得到六个应变分量:。反过来，要从已知的六个应变分量函数得到三个未知的位移分量函数,数学上就是要由六个方程解出三个未知数。这样，六个应变分量之间必须满足一定的关系才行。下面仅就平面应变这一比较简单的情况证明和导出这一关系。平面问题几何方程为将对y的二阶导数和对x的二阶导数相

5、加，得即相容方程第3章应变状态分析3-3应变协调条件相容方程对于平面问题，三个应变分量间存在着微分关系，反映了单元体变形应变协调这一事实。这就是应变协调条件，这个方程称为平面问题的相容方程。相容方程相容方程的意义也可以从几何角度加以解释。如前所述，我们假想将物体分割成无数单元体，使每个单元体发生变形。如果表示单元体变形的应变分量之间没有一定关系，则在物体变形之后，就不能将这些单元体重新拼合成连续体，相邻单元体之间或产生裂缝、或发生嵌入。为使变形后的小单元体能重新拼合成连续体，则应变应满足协调条件，即变形具有协调性。第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析若受力物件内某

6、一点M只存在三个应变分量，而且都在同一个平面内，则其余的应变分量为零。例如在x-y平面内，只有，而。斜向方向应变在xoy坐标系内,点M的坐标(x,y)、位移矢的分量u、v；三个应变分量均已知在新坐标系下，点M的坐标为；位移矢的分量为平面应变状态于是有第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析复合函数求导的链式法则第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析仿照上述过程，可以导出将三角函数略作简化，写成类似二向应力状态斜截面应力公式的形式，得斜向方向应变第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析仿照二向应力状态的分析方法，会得出类似的分析结果。例如，在平面应变状态中，通过一点一

7、定存在两个相互垂直的方向，在这两个方向上，线应变为极值而切应变为零。这样的极值线应变称为主应变，这个方向称为主应变方向或应变主轴。主应变主应变及主应变方向主应变方向第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析最大切应变及其方向即最大切应变最大切应变方向第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析应变圆斜向方向应变公式中消去参数a，得应变圆方程第3章应变状态分析3-4平面应变状态分析应变圆