晶体光学各向异性.ppt

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1、4.1.1张量的基础知识1.张量的概念4.1晶体的光学各向异性例如，矢量p与矢量q有关，则其一般关系应为：（2）.把一个矢量与一个张量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。（1）.把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。式中，是关联p和q的二阶张量。在直角坐标系O-x1x2x3中，上式可表示为矩阵形式：式中，三个矩阵分别表示矢量p、二阶张量和矢量q。二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标(按一定顺序)相关。张量也可以用其分量形式表示如下：其一般分量形式为：按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地

2、按该下标求和，将上式简化为pi=Tijqji,j=1,2,3(4-5)可以看出：如果是张量，则p矢量的某坐标分量不仅与q矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。如果矢量p与两个矢量u和v相关，其一般关系式为：分量表示式为：式中，为三阶张量，它包含27个张量元素，其矩阵形式为：pi=Tijkujvki,j,k=1,2,3实际上，一个标量可以看作是一个零阶张量，一个矢量可以看作是一个一阶张量。从分量的标记方法看，标量无下标，矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。因此，下标的数目等于张量的阶数。2.张量的变换原坐标系中，某张量表示式

3、为［Tij］新坐标系中，张量表示式为［Tij′］则当原坐标系O-x1x2x3与新坐标系的坐标变换矩阵为［aij］时，与的关系为:其分量表示形式为:这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示原坐标分量，可通过逆变换得到:如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式A′与原坐标系中的表示式A间的矩阵变换关系为:i,j,k,l=1,2,3其分量变换公式为:i,j=1,2,33.对称张量一个二阶张量［Tij］，如果有Tij=Tji，称为对称张量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为

4、对角化张量。于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张量:经上述主轴变换后，可表示为:最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量写在方括号内，把矩阵写在圆括号内，以示区别。4.1.2晶体的介电张量由电磁场理论已知，介电常数ε是表征介质电学特性的参量。在各向同性介质中，电位移矢量D与电场矢量E满足如下关系：在此，介电常数ε=ε0εr是标量，电位移矢量D与电场矢量E的方向相同，即D矢量的每个分量只与E矢量的相应分量线性相关。对

5、于各向异性介质(例如晶体)，D和E间的关系为:介电常数是二阶张量。其分量形式为：即电位移矢量D的每个分量均与电场矢量E的各个分量线性相关。在一般情况下，D与E的方向不相同。又由光的电磁理论，晶体的介电张量是一个对称张量，因此它有六个独立分量。经主轴变换后的介电张量是对角张量，只有三个非零的对角分量，为：i,j=1,2,3ε1,ε2,ε3称为主介电系数。由麦克斯韦关系式：还可以相应地定义三个主折射率n1,n2,n3。在主轴坐标系中，电位移矢量的分量形式可表为：此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分

6、为七大晶系：立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶系；正方晶系；单斜晶系；三斜晶系。由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同，各晶系的介电张量矩阵形式如表4-1所示。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主介电系数ε1≠ε2≠ε3,这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，主介电系数ε1=ε2≠ε3,这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，ε1=ε2=ε3。4.1.3晶体的光学各向异性——七大晶系的光学性质简介表4-1各晶系的介电张量矩阵1.麦克斯韦方程组在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中

7、，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为：4.2光在晶体中传播的解析法描述根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述。物质方程为为简单起见，我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。这样处理，可不考虑介质的色散特性，同时，对于任意复杂的光波，因为光场可以通过傅里叶变换分解为许多不同频率的单色平面光波的叠加，所以也不失其普遍性。2.光波在晶体中传播特性的一般描述（1）.单色平面光波在晶体中的传播特性A.晶体中光电磁波的结构——波动方程B.能量密度根据电磁能量密度公式有：图4-1平面光波的电磁结构C.相速度和光线速度相速度vp：光线速度vr：

8、相速度与光线速度之间的关系：图4-2v