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1、函数的奇偶性在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：它关于什么对称？而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(x)=x2（1）（2）yxOx0-x0-xxf(-2)=(-2)2=4f(2)=4例如：函数f(x)=x2，如下：f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-x)=f(x
2、)结论:当自变量x任取定义域中的一对相反数时,对应的函数值相等，即f(-x)=f(x)例如：对于函数f(x)=x3有f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)函数奇偶性的定义:偶函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数
3、定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.理解定义yox4-2思考？函数具有奇偶性的前提是什么？函数的定义域关于原点对称对于奇、偶函数定义的几点说明:(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就是说函数f(x)具有奇偶性。在线测试1、对于定义在R上的函
4、数f(x)，下列判断是否正确？（1）若f(x)是偶函数，则f(-2)=f(2)()（2）若f(-2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数（）（3）若f(-2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数（）2、已知函数f(x)是偶函数，且f（3）=3，则f(-3)=（）A、-3B、3C、0D、无法确定3、下列四个结论：偶函数的图像一定与y轴相交；奇函数的图像一定过原点；偶函数的图像关于y轴对称；奇函数y=f(x)(x)的图像必过（-a,f(a)）表述正确的个数是A、1B、2C、3D、44、已知函数f(x)是奇函数，且f(3)=
5、3，则f(-3)等于（）A、-3B、3C、0D、无法确定5、已知函数f(x)=x3，-5≤x<5，则下列结论正确的是（）（A）函数f(x)是奇函数（B）函数f(x)的图像关于原点中心对称（C）函数定义域中由无数多个x，使得f(-x)=-f(x)（D）函数f(x)的定义域是关于原点对称的区域思考：如何判断一个函数的奇偶性呢？（1）图像法（2）定义法例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.yxyxyxyxy典例详解xoy(a,f(a))(-a,f(-a))-aa奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点
6、对称，那么这个函数是奇函数.xoy-aa(a,f(a))(-a,f(-a))偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.oyx例2已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象。第一课时【互动探究案】例2、已知函数y=f(x)是偶函数，且知道x≥0是的图像，请作出另一半图象。yx练习例3.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=3x4+6x2+a解:定义域为R∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3
7、+x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数解:定义域为R∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2+a=3x4+6x2+a即f(-x)=f(x)∴f(x)为偶函数说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.⑵再判断f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.用定义法判断函数奇偶性解题步骤:(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2)求f(-x)，找f(x)与f(-x)的关系;若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)是
8、奇函数.(3)作出结论.f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。给出函数判断定义域是否对称结论是f(-x)与f(x)否练习:说出下列函数的奇偶性:①f(x)=x4________③f(x)=x________④f(x)=x-2__________⑤f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3____________
